Ratkaise (x-1)^3=54/2

$$( x - 1 ) ^ { 3 } = \frac { 54 } { 2 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=4$$

$$x=\frac{-1+3\sqrt{3}i}{2}\approx -0,5+2,598076211i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0,5-2,598076211i$$

Ratkaisun vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} yhtälön \left(x-1\right)^{3} laajentamiseen.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=\frac{54}{2}$$

Jaa 54 luvulla 2, jolloin ratkaisuksi tulee 27.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=27$$

Vähennä 27 molemmilta puolilta.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1-27=0$$

Vähennä 27 luvusta -1 saadaksesi tuloksen -28.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-28=0$$

Rationaalijuurilauseen mukaan kaikki polynomin rationaalijuuret ovat muotoa \frac{p}{q}, jossa p jakaa vakiotermin -28 ja q jakaa johtavan kertoimen 1. Luettele kaikki ehdokkaat \frac{p}{q}.

$$±28,±14,±7,±4,±2,±1$$

Etsi yksi tällainen juuri kokeilemalla kaikkia kokonaislukuarvoja pienimmästä alkaen absoluuttisen arvon mukaan. Jos kokonaislukujuuria ei löydy, kokeile murtolukuja.

$$x=4$$

Tekijöihin jakamisessa nollakohtien avulla x-k on polynomin tekijä kunkin juuren k osalta. Jaa x^{3}-3x^{2}+3x-28 luvulla x-4, jolloin ratkaisuksi tulee x^{2}+x+7. Ratkaise yhtälö, kun sen tulos on yhtä suuri kuin 0.

$$x^{2}+x+7=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 1 tilalle a, muuttujan 1 tilalle b ja muuttujan 7 tilalle c.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\times 7}}{2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-27}}{2}$$

Ratkaise yhtälö x^{2}+x+7=0 kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=\frac{-3i\sqrt{3}-1}{2} x=\frac{-1+3i\sqrt{3}}{2}$$

Luetteloi kaikki löydetyt ratkaisut.

$$x=4 x=\frac{-3i\sqrt{3}-1}{2} x=\frac{-1+3i\sqrt{3}}{2}$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=4$$

Ratkaisun vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} yhtälön \left(x-1\right)^{3} laajentamiseen.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=\frac{54}{2}$$

Jaa 54 luvulla 2, jolloin ratkaisuksi tulee 27.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=27$$

Vähennä 27 molemmilta puolilta.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1-27=0$$

Vähennä 27 luvusta -1 saadaksesi tuloksen -28.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-28=0$$

Rationaalijuurilauseen mukaan kaikki polynomin rationaalijuuret ovat muotoa \frac{p}{q}, jossa p jakaa vakiotermin -28 ja q jakaa johtavan kertoimen 1. Luettele kaikki ehdokkaat \frac{p}{q}.

$$±28,±14,±7,±4,±2,±1$$

Etsi yksi tällainen juuri kokeilemalla kaikkia kokonaislukuarvoja pienimmästä alkaen absoluuttisen arvon mukaan. Jos kokonaislukujuuria ei löydy, kokeile murtolukuja.

$$x=4$$

Tekijöihin jakamisessa nollakohtien avulla x-k on polynomin tekijä kunkin juuren k osalta. Jaa x^{3}-3x^{2}+3x-28 luvulla x-4, jolloin ratkaisuksi tulee x^{2}+x+7. Ratkaise yhtälö, kun sen tulos on yhtä suuri kuin 0.

$$x^{2}+x+7=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 1 tilalle a, muuttujan 1 tilalle b ja muuttujan 7 tilalle c.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\times 7}}{2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-27}}{2}$$

Negatiivisen luvun neliöjuurta ei ole määritelty reaalilukujen joukossa, joten ratkaisuja ei ole.

$$x\in \emptyset$$

Luetteloi kaikki löydetyt ratkaisut.

$$x=4$$