Ratkaise (x-1)^2+(2x+2)^2=16

$$( x - 1 ) ^ { 2 } + ( 2 x + 2 ) ^ { 2 } = 16$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2,2$$

$$x=1$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(x-1\right)^{2} laajentamiseen.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(2x+2\right)^{2} laajentamiseen.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Selvitä 5x^{2} yhdistämällä x^{2} ja 4x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Selvitä 6x yhdistämällä -2x ja 8x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Selvitä 5 laskemalla yhteen 1 ja 4.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Vähennä 16 molemmilta puolilta.

$$5x^{2}+6x+5-16=0$$

Vähennä 16 luvusta 5 saadaksesi tuloksen -11.

$$5x^{2}+6x-11=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 5x^{2}+ax+bx-11. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=6 ab=5\left(-11\right)=-55$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -55.

$$-1,55 -5,11$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+55=54 -5+11=6$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 6.

$$a=-5 b=11$$

Kirjoita \left(5x^{2}-5x\right)+\left(11x-11\right) uudelleen muodossa 5x^{2}+6x-11.

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(11x-11\right)$$

Jaa 5x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 11.

$$5x\left(x-1\right)+11\left(x-1\right)$$

Jaa yleinen termi x-1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-1\right)\left(5x+11\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-1=0 ja 5x+11=0.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(x-1\right)^{2} laajentamiseen.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(2x+2\right)^{2} laajentamiseen.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Selvitä 5x^{2} yhdistämällä x^{2} ja 4x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Selvitä 6x yhdistämällä -2x ja 8x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Selvitä 5 laskemalla yhteen 1 ja 4.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Vähennä 16 molemmilta puolilta.

$$5x^{2}+6x+5-16=0$$

Vähennä 16 luvusta 5 saadaksesi tuloksen -11.

$$5x^{2}+6x-11=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla 6 ja c luvulla -11 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Korota 6 neliöön.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja -11.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+220}}{2\times 5}$$

Lisää 36 lukuun 220.

$$x=\frac{-6±\sqrt{256}}{2\times 5}$$

Ota luvun 256 neliöjuuri.

$$x=\frac{-6±16}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{-6±16}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±16}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -6 lukuun 16.

$$x=\frac{10}{10}$$

Jaa 10 luvulla 10.

$$x=1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±16}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 16 luvusta -6.

$$x=-\frac{22}{10}$$

Supista murtoluku \frac{-22}{10} luvulla 2.

$$x=-\frac{11}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(x-1\right)^{2} laajentamiseen.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(2x+2\right)^{2} laajentamiseen.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Selvitä 5x^{2} yhdistämällä x^{2} ja 4x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Selvitä 6x yhdistämällä -2x ja 8x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Selvitä 5 laskemalla yhteen 1 ja 4.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Vähennä 5 molemmilta puolilta.

$$5x^{2}+6x=16-5$$

Vähennä 5 luvusta 16 saadaksesi tuloksen 11.

$$5x^{2}+6x=11$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=\frac{11}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=\frac{11}{5}$$

Jaa \frac{6}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{5}. Lisää sitten \frac{3}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{11}{5}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{11}{5}+\frac{9}{25}$$

Lisää \frac{11}{5} lukuun \frac{9}{25} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{64}{25}$$

Jaa x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{64}{25}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{25}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{8}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{8}{5}$$

Vähennä \frac{3}{5} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$