Ratkaise (x)=3x^2-7x+2

$$( x ) = 3 x ^ { 2 } - 7 x + 2$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{10} + 4}{3} \approx 2,387425887$$

$$x=\frac{4-\sqrt{10}}{3}\approx 0,27924078$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä 3x^{2} molemmilta puolilta.

$$x-3x^{2}=-7x+2$$

Lisää 7x molemmille puolille.

$$x-3x^{2}+7x=2$$

Selvitä 8x yhdistämällä x ja 7x.

$$8x-3x^{2}=2$$

Vähennä 2 molemmilta puolilta.

$$8x-3x^{2}-2=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-3x^{2}+8x-2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -3, b luvulla 8 ja c luvulla -2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-3\right)\left(-2\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Korota 8 neliöön.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-3\right)\left(-2\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro -4 ja -3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+12\left(-2\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro 12 ja -2.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-24}}{2\left(-3\right)}$$

Lisää 64 lukuun -24.

$$x=\frac{-8±\sqrt{40}}{2\left(-3\right)}$$

Ota luvun 40 neliöjuuri.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{10}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro 2 ja -3.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{10}}{-6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-8±2\sqrt{10}}{-6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -8 lukuun 2\sqrt{10}.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-8}{-6}$$

Jaa -8+2\sqrt{10} luvulla -6.

$$x=\frac{4-\sqrt{10}}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-8±2\sqrt{10}}{-6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{10} luvusta -8.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}-8}{-6}$$

Jaa -8-2\sqrt{10} luvulla -6.

$$x=\frac{\sqrt{10}+4}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{4-\sqrt{10}}{3} x=\frac{\sqrt{10}+4}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vähennä 3x^{2} molemmilta puolilta.

$$x-3x^{2}=-7x+2$$

Lisää 7x molemmille puolille.

$$x-3x^{2}+7x=2$$

Selvitä 8x yhdistämällä x ja 7x.

$$8x-3x^{2}=2$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+8x=2$$

Jaa molemmat puolet luvulla -3.

$$\frac{-3x^{2}+8x}{-3}=\frac{2}{-3}$$

Jakaminen luvulla -3 kumoaa kertomisen luvulla -3.

$$x^{2}+\frac{8}{-3}x=\frac{2}{-3}$$

Jaa 8 luvulla -3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{2}{-3}$$

Jaa 2 luvulla -3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=-\frac{2}{3}$$

Jaa -\frac{8}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{4}{3}. Lisää sitten -\frac{4}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Korota -\frac{4}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=-\frac{2}{3}+\frac{16}{9}$$

Lisää -\frac{2}{3} lukuun \frac{16}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{10}{9}$$

Jaa x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{10}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10}{9}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{10}}{3} x-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{10}}{3}$$

Lisää \frac{4}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{10}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{10}}{3}$$