Ratkaise (x)=3(x-5)(x+3)

$$( x ) = 3 ( x - 5 ) ( x + 3 )$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{589} + 7}{6} \approx 5,2115537$$

$$x=\frac{7-\sqrt{589}}{6}\approx -2,878220367$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 3 ja x-5 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$x=\left(3x-15\right)\left(x+3\right)$$

Laske lukujen 3x-15 ja x+3 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$x=3x^{2}-6x-45$$

Vähennä 3x^{2} molemmilta puolilta.

$$x-3x^{2}=-6x-45$$

Lisää 6x molemmille puolille.

$$x-3x^{2}+6x=-45$$

Selvitä 7x yhdistämällä x ja 6x.

$$7x-3x^{2}=-45$$

Lisää 45 molemmille puolille.

$$7x-3x^{2}+45=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-3x^{2}+7x+45=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -3, b luvulla 7 ja c luvulla 45 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-3\right)\times 45}}{2\left(-3\right)}$$

Korota 7 neliöön.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-3\right)\times 45}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro -4 ja -3.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+12\times 45}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro 12 ja 45.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+540}}{2\left(-3\right)}$$

Lisää 49 lukuun 540.

$$x=\frac{-7±\sqrt{589}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro 2 ja -3.

$$x=\frac{-7±\sqrt{589}}{-6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±\sqrt{589}}{-6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -7 lukuun \sqrt{589}.

$$x=\frac{\sqrt{589}-7}{-6}$$

Jaa -7+\sqrt{589} luvulla -6.

$$x=\frac{7-\sqrt{589}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±\sqrt{589}}{-6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{589} luvusta -7.

$$x=\frac{-\sqrt{589}-7}{-6}$$

Jaa -7-\sqrt{589} luvulla -6.

$$x=\frac{\sqrt{589}+7}{6}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{7-\sqrt{589}}{6} x=\frac{\sqrt{589}+7}{6}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 3 ja x-5 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$x=\left(3x-15\right)\left(x+3\right)$$

Laske lukujen 3x-15 ja x+3 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$x=3x^{2}-6x-45$$

Vähennä 3x^{2} molemmilta puolilta.

$$x-3x^{2}=-6x-45$$

Lisää 6x molemmille puolille.

$$x-3x^{2}+6x=-45$$

Selvitä 7x yhdistämällä x ja 6x.

$$7x-3x^{2}=-45$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+7x=-45$$

Jaa molemmat puolet luvulla -3.

$$\frac{-3x^{2}+7x}{-3}=-\frac{45}{-3}$$

Jakaminen luvulla -3 kumoaa kertomisen luvulla -3.

$$x^{2}+\frac{7}{-3}x=-\frac{45}{-3}$$

Jaa 7 luvulla -3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=-\frac{45}{-3}$$

Jaa -45 luvulla -3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=15$$

Jaa -\frac{7}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{7}{6}. Lisää sitten -\frac{7}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=15+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Korota -\frac{7}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=15+\frac{49}{36}$$

Lisää 15 lukuun \frac{49}{36}.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{589}{36}$$

Jaa x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{589}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{589}{36}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{589}}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{589}}{6}$$

Lisää \frac{7}{6} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{589}+7}{6} x=\frac{7-\sqrt{589}}{6}$$