Ratkaise (x)=212x-5000-x^2

$$( x ) = 212 x - 5000 - x ^ { 2 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{24521} + 211}{2} \approx 183,795913048$$

$$x = \frac{211 - \sqrt{24521}}{2} \approx 27,204086952$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä 212x molemmilta puolilta.

$$x-212x=-5000-x^{2}$$

Selvitä -211x yhdistämällä x ja -212x.

$$-211x=-5000-x^{2}$$

Vähennä -5000 molemmilta puolilta.

$$-211x-\left(-5000\right)=-x^{2}$$

Luvun -5000 vastaluku on 5000.

$$-211x+5000=-x^{2}$$

Lisää x^{2} molemmille puolille.

$$-211x+5000+x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-211x+5000=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -211 ja c luvulla 5000 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-211\right)±\sqrt{\left(-211\right)^{2}-4\times 5000}}{2}$$

Korota -211 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-211\right)±\sqrt{44521-4\times 5000}}{2}$$

Kerro -4 ja 5000.

$$x=\frac{-\left(-211\right)±\sqrt{44521-20000}}{2}$$

Lisää 44521 lukuun -20000.

$$x=\frac{-\left(-211\right)±\sqrt{24521}}{2}$$

Luvun -211 vastaluku on 211.

$$x=\frac{211±\sqrt{24521}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{211±\sqrt{24521}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 211 lukuun \sqrt{24521}.

$$x=\frac{\sqrt{24521}+211}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{211±\sqrt{24521}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{24521} luvusta 211.

$$x=\frac{211-\sqrt{24521}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{24521}+211}{2} x=\frac{211-\sqrt{24521}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vähennä 212x molemmilta puolilta.

$$x-212x=-5000-x^{2}$$

Selvitä -211x yhdistämällä x ja -212x.

$$-211x=-5000-x^{2}$$

Lisää x^{2} molemmille puolille.

$$-211x+x^{2}=-5000$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-211x=-5000$$

Jaa -211 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{211}{2}. Lisää sitten -\frac{211}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-211x+\left(-\frac{211}{2}\right)^{2}=-5000+\left(-\frac{211}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{211}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-211x+\frac{44521}{4}=-5000+\frac{44521}{4}$$

Lisää -5000 lukuun \frac{44521}{4}.

$$x^{2}-211x+\frac{44521}{4}=\frac{24521}{4}$$

Jaa x^{2}-211x+\frac{44521}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{211}{2}\right)^{2}=\frac{24521}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{211}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{24521}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{211}{2}=\frac{\sqrt{24521}}{2} x-\frac{211}{2}=-\frac{\sqrt{24521}}{2}$$

Lisää \frac{211}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{24521}+211}{2} x=\frac{211-\sqrt{24521}}{2}$$