Ratkaise (x+3)^2+(3x-8)(3x+8)+1=3[x(x+3)+6]

$$( x + 3 ) ^ { 2 } + ( 3 x - 8 ) ( 3 x + 8 ) + 1 = 3 [ x ( x + 3 ) + 6 ]$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-3$$

$$x = \frac{24}{7} = 3\frac{3}{7} \approx 3,428571429$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(x+3\right)^{2} laajentamiseen.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Tarkastele lauseketta \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Korota 8 neliöön.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Lavenna \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Laske 3 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Selvitä 10x^{2} yhdistämällä x^{2} ja 9x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Vähennä 64 luvusta 9 saadaksesi tuloksen -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Selvitä -54 laskemalla yhteen -55 ja 1.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Laske lukujen x ja x+3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Laske lukujen 3 ja x^{2}+3x+6 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Vähennä 3x^{2} molemmilta puolilta.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Selvitä 7x^{2} yhdistämällä 10x^{2} ja -3x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Vähennä 9x molemmilta puolilta.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Selvitä -3x yhdistämällä 6x ja -9x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Vähennä 18 molemmilta puolilta.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

Vähennä 18 luvusta -54 saadaksesi tuloksen -72.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 7x^{2}+ax+bx-72. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-3 ab=7\left(-72\right)=-504$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -504.

$$1,-504 2,-252 3,-168 4,-126 6,-84 7,-72 8,-63 9,-56 12,-42 14,-36 18,-28 21,-24$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-504=-503 2-252=-250 3-168=-165 4-126=-122 6-84=-78 7-72=-65 8-63=-55 9-56=-47 12-42=-30 14-36=-22 18-28=-10 21-24=-3$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -3.

$$a=-24 b=21$$

Kirjoita \left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right) uudelleen muodossa 7x^{2}-3x-72.

$$\left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right)$$

Jaa x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 3.

$$x\left(7x-24\right)+3\left(7x-24\right)$$

Jaa yleinen termi 7x-24 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(7x-24\right)\left(x+3\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 7x-24=0 ja x+3=0.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(x+3\right)^{2} laajentamiseen.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Tarkastele lauseketta \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Korota 8 neliöön.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Lavenna \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Laske 3 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Selvitä 10x^{2} yhdistämällä x^{2} ja 9x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Vähennä 64 luvusta 9 saadaksesi tuloksen -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Selvitä -54 laskemalla yhteen -55 ja 1.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Laske lukujen x ja x+3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Laske lukujen 3 ja x^{2}+3x+6 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Vähennä 3x^{2} molemmilta puolilta.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Selvitä 7x^{2} yhdistämällä 10x^{2} ja -3x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Vähennä 9x molemmilta puolilta.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Selvitä -3x yhdistämällä 6x ja -9x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Vähennä 18 molemmilta puolilta.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

Vähennä 18 luvusta -54 saadaksesi tuloksen -72.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 7, b luvulla -3 ja c luvulla -72 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Korota -3 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Kerro -4 ja 7.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-28\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Kerro -28 ja -72.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+2016}}{2\times 7}$$

Lisää 9 lukuun 2016.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{2025}}{2\times 7}$$

Ota luvun 2025 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±45}{2\times 7}$$

Luvun -3 vastaluku on 3.

$$x=\frac{3±45}{2\times 7}$$

Kerro 2 ja 7.

$$x=\frac{3±45}{14}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{3±45}{14}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 3 lukuun 45.

$$x=\frac{48}{14}$$

Supista murtoluku \frac{48}{14} luvulla 2.

$$x=\frac{24}{7}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{3±45}{14}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 45 luvusta 3.

$$x=-\frac{42}{14}$$

Jaa -42 luvulla 14.

$$x=-3$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(x+3\right)^{2} laajentamiseen.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Tarkastele lauseketta \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Korota 8 neliöön.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Lavenna \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Laske 3 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Selvitä 10x^{2} yhdistämällä x^{2} ja 9x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Vähennä 64 luvusta 9 saadaksesi tuloksen -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Selvitä -54 laskemalla yhteen -55 ja 1.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Laske lukujen x ja x+3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Laske lukujen 3 ja x^{2}+3x+6 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Vähennä 3x^{2} molemmilta puolilta.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Selvitä 7x^{2} yhdistämällä 10x^{2} ja -3x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Vähennä 9x molemmilta puolilta.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Selvitä -3x yhdistämällä 6x ja -9x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Lisää 54 molemmille puolille.

$$7x^{2}-3x=18+54$$

Selvitä 72 laskemalla yhteen 18 ja 54.

$$7x^{2}-3x=72$$

Jaa molemmat puolet luvulla 7.

$$\frac{7x^{2}-3x}{7}=\frac{72}{7}$$

Jakaminen luvulla 7 kumoaa kertomisen luvulla 7.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x=\frac{72}{7}$$

Jaa -\frac{3}{7} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{14}. Lisää sitten -\frac{3}{14}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{72}{7}+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{14} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{72}{7}+\frac{9}{196}$$

Lisää \frac{72}{7} lukuun \frac{9}{196} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{2025}{196}$$

Jaa x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{2025}{196}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{196}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{14}=\frac{45}{14} x-\frac{3}{14}=-\frac{45}{14}$$

Lisää \frac{3}{14} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$