Ratkaise (9-x)(x-4)=3x

$$( 9 - x ) ( x - 4 ) = 3 x$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=-\sqrt{11}i+5\approx 5-3,31662479i$$

$$x=5+\sqrt{11}i\approx 5+3,31662479i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 9-x ja x-4 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$13x-36-x^{2}=3x$$

Vähennä 3x molemmilta puolilta.

$$13x-36-x^{2}-3x=0$$

Selvitä 10x yhdistämällä 13x ja -3x.

$$10x-36-x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+10x-36=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 10 ja c luvulla -36 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-1\right)\left(-36\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 10 neliöön.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-1\right)\left(-36\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+4\left(-36\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja -36.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-144}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 100 lukuun -144.

$$x=\frac{-10±\sqrt{-44}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun -44 neliöjuuri.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{11}i}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{11}i}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-10±2\sqrt{11}i}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -10 lukuun 2i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-10+2\sqrt{11}i}{-2}$$

Jaa -10+2i\sqrt{11} luvulla -2.

$$x=-\sqrt{11}i+5$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-10±2\sqrt{11}i}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{11} luvusta -10.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}i-10}{-2}$$

Jaa -10-2i\sqrt{11} luvulla -2.

$$x=5+\sqrt{11}i$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\sqrt{11}i+5 x=5+\sqrt{11}i$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 9-x ja x-4 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$13x-36-x^{2}=3x$$

Vähennä 3x molemmilta puolilta.

$$13x-36-x^{2}-3x=0$$

Selvitä 10x yhdistämällä 13x ja -3x.

$$10x-36-x^{2}=0$$

Lisää 36 molemmille puolille. Nolla plus mikä tahansa luku on luku itse.

$$10x-x^{2}=36$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+10x=36$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}+10x}{-1}=\frac{36}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{10}{-1}x=\frac{36}{-1}$$

Jaa 10 luvulla -1.

$$x^{2}-10x=\frac{36}{-1}$$

Jaa 36 luvulla -1.

$$x^{2}-10x=-36$$

Jaa -10 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -5. Lisää sitten -5:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-36+\left(-5\right)^{2}$$

Korota -5 neliöön.

$$x^{2}-10x+25=-36+25$$

Lisää -36 lukuun 25.

$$x^{2}-10x+25=-11$$

Jaa x^{2}-10x+25 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-5\right)^{2}=-11$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{-11}$$

Sievennä.

$$x-5=\sqrt{11}i x-5=-\sqrt{11}i$$

Lisää 5 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=5+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i+5$$