Ratkaise (6-x)(2x-1)=13

$$( 6 - x ) ( 2 x - 1 ) = 13$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{17} + 13}{4} \approx 4,280776406$$

$$x = \frac{13 - \sqrt{17}}{4} \approx 2,219223594$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 6-x ja 2x-1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$13x-6-2x^{2}=13$$

Vähennä 13 molemmilta puolilta.

$$13x-6-2x^{2}-13=0$$

Vähennä 13 luvusta -6 saadaksesi tuloksen -19.

$$13x-19-2x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-2x^{2}+13x-19=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -2, b luvulla 13 ja c luvulla -19 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-2\right)\left(-19\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Korota 13 neliöön.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-2\right)\left(-19\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro -4 ja -2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+8\left(-19\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 8 ja -19.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-152}}{2\left(-2\right)}$$

Lisää 169 lukuun -152.

$$x=\frac{-13±\sqrt{17}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 2 ja -2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{17}}{-4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-13±\sqrt{17}}{-4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -13 lukuun \sqrt{17}.

$$x=\frac{\sqrt{17}-13}{-4}$$

Jaa -13+\sqrt{17} luvulla -4.

$$x=\frac{13-\sqrt{17}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-13±\sqrt{17}}{-4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{17} luvusta -13.

$$x=\frac{-\sqrt{17}-13}{-4}$$

Jaa -13-\sqrt{17} luvulla -4.

$$x=\frac{\sqrt{17}+13}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{13-\sqrt{17}}{4} x=\frac{\sqrt{17}+13}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 6-x ja 2x-1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$13x-6-2x^{2}=13$$

Lisää 6 molemmille puolille.

$$13x-2x^{2}=13+6$$

Selvitä 19 laskemalla yhteen 13 ja 6.

$$13x-2x^{2}=19$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+13x=19$$

Jaa molemmat puolet luvulla -2.

$$\frac{-2x^{2}+13x}{-2}=\frac{19}{-2}$$

Jakaminen luvulla -2 kumoaa kertomisen luvulla -2.

$$x^{2}+\frac{13}{-2}x=\frac{19}{-2}$$

Jaa 13 luvulla -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=\frac{19}{-2}$$

Jaa 19 luvulla -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{19}{2}$$

Jaa -\frac{13}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{13}{4}. Lisää sitten -\frac{13}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=-\frac{19}{2}+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{13}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=-\frac{19}{2}+\frac{169}{16}$$

Lisää -\frac{19}{2} lukuun \frac{169}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{17}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{17}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{\sqrt{17}}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{\sqrt{17}}{4}$$

Lisää \frac{13}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{17}+13}{4} x=\frac{13-\sqrt{17}}{4}$$