Ratkaise (6-2sqrt{x})^2+6^2=8x

$$( 6 - 2 \sqrt { x } ) ^ { 2 } + 6 ^ { 2 } = 8 x$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=36-18\sqrt{3}\approx 4,823085464$$

Ratkaisun vaiheet

Laske 6 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 36.

$$\left(6-2\sqrt{x}\right)^{2}+36=8x$$

Vähennä 8x molemmilta puolilta.

$$\left(6-2\sqrt{x}\right)^{2}+36-8x=0$$

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(6-2\sqrt{x}\right)^{2} laajentamiseen.

$$36-24\sqrt{x}+4\left(\sqrt{x}\right)^{2}+36-8x=0$$

Laske \sqrt{x} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee x.

$$36-24\sqrt{x}+4x+36-8x=0$$

Selvitä 72 laskemalla yhteen 36 ja 36.

$$72-24\sqrt{x}+4x-8x=0$$

Selvitä -4x yhdistämällä 4x ja -8x.

$$72-24\sqrt{x}-4x=0$$

Vähennä 72 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$-24\sqrt{x}-4x=-72$$

Vähennä -4x yhtälön molemmilta puolilta.

$$-24\sqrt{x}=-72+4x$$

Korota yhtälön molemmat puolet neliöön.

$$\left(-24\sqrt{x}\right)^{2}=\left(4x-72\right)^{2}$$

Lavenna \left(-24\sqrt{x}\right)^{2}.

$$\left(-24\right)^{2}\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(4x-72\right)^{2}$$

Laske -24 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 576.

$$576\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(4x-72\right)^{2}$$

Laske \sqrt{x} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee x.

$$576x=\left(4x-72\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(4x-72\right)^{2} laajentamiseen.

$$576x=16x^{2}-576x+5184$$

Vähennä 16x^{2} molemmilta puolilta.

$$576x-16x^{2}=-576x+5184$$

Lisää 576x molemmille puolille.

$$576x-16x^{2}+576x=5184$$

Selvitä 1152x yhdistämällä 576x ja 576x.

$$1152x-16x^{2}=5184$$

Vähennä 5184 molemmilta puolilta.

$$1152x-16x^{2}-5184=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-16x^{2}+1152x-5184=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -16, b luvulla 1152 ja c luvulla -5184 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1152±\sqrt{1152^{2}-4\left(-16\right)\left(-5184\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Korota 1152 neliöön.

$$x=\frac{-1152±\sqrt{1327104-4\left(-16\right)\left(-5184\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Kerro -4 ja -16.

$$x=\frac{-1152±\sqrt{1327104+64\left(-5184\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Kerro 64 ja -5184.

$$x=\frac{-1152±\sqrt{1327104-331776}}{2\left(-16\right)}$$

Lisää 1327104 lukuun -331776.

$$x=\frac{-1152±\sqrt{995328}}{2\left(-16\right)}$$

Ota luvun 995328 neliöjuuri.

$$x=\frac{-1152±576\sqrt{3}}{2\left(-16\right)}$$

Kerro 2 ja -16.

$$x=\frac{-1152±576\sqrt{3}}{-32}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1152±576\sqrt{3}}{-32}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -1152 lukuun 576\sqrt{3}.

$$x=\frac{576\sqrt{3}-1152}{-32}$$

Jaa -1152+576\sqrt{3} luvulla -32.

$$x=36-18\sqrt{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1152±576\sqrt{3}}{-32}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 576\sqrt{3} luvusta -1152.

$$x=\frac{-576\sqrt{3}-1152}{-32}$$

Jaa -1152-576\sqrt{3} luvulla -32.

$$x=18\sqrt{3}+36$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=36-18\sqrt{3} x=18\sqrt{3}+36$$

Korvaa x arvolla 36-18\sqrt{3} yhtälössä \left(6-2\sqrt{x}\right)^{2}+6^{2}=8x.

$$\left(6-2\sqrt{36-18\sqrt{3}}\right)^{2}+6^{2}=8\left(36-18\sqrt{3}\right)$$

Sievennä. Arvo x=36-18\sqrt{3} täyttää yhtälön.

$$288-144\times 3^{\frac{1}{2}}=288-144\times 3^{\frac{1}{2}}$$

Korvaa x arvolla 18\sqrt{3}+36 yhtälössä \left(6-2\sqrt{x}\right)^{2}+6^{2}=8x.

$$\left(6-2\sqrt{18\sqrt{3}+36}\right)^{2}+6^{2}=8\left(18\sqrt{3}+36\right)$$

Sievennä. Arvo x=18\sqrt{3}+36 ei täytä yhtälöä.

$$144=144\times 3^{\frac{1}{2}}+288$$

Yhtälöön-24\sqrt{x}=4x-72 on yksilöllinen ratkaisu.

$$x=36-18\sqrt{3}$$