Ratkaise (5x+7)^2=16

$$( 5 x + 7 ) ^ { 2 } = 16$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-\frac{3}{5}=-0,6$$

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2,2$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(5x+7\right)^{2} laajentamiseen.

$$25x^{2}+70x+49=16$$

Vähennä 16 molemmilta puolilta.

$$25x^{2}+70x+49-16=0$$

Vähennä 16 luvusta 49 saadaksesi tuloksen 33.

$$25x^{2}+70x+33=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 25x^{2}+ax+bx+33. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=70 ab=25\times 33=825$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on positiivinen, a ja b ovat molemmat positiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 825.

$$1,825 3,275 5,165 11,75 15,55 25,33$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+825=826 3+275=278 5+165=170 11+75=86 15+55=70 25+33=58$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 70.

$$a=15 b=55$$

Kirjoita \left(25x^{2}+15x\right)+\left(55x+33\right) uudelleen muodossa 25x^{2}+70x+33.

$$\left(25x^{2}+15x\right)+\left(55x+33\right)$$

Jaa 5x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 11.

$$5x\left(5x+3\right)+11\left(5x+3\right)$$

Jaa yleinen termi 5x+3 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(5x+3\right)\left(5x+11\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 5x+3=0 ja 5x+11=0.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(5x+7\right)^{2} laajentamiseen.

$$25x^{2}+70x+49=16$$

Vähennä 16 molemmilta puolilta.

$$25x^{2}+70x+49-16=0$$

Vähennä 16 luvusta 49 saadaksesi tuloksen 33.

$$25x^{2}+70x+33=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 25, b luvulla 70 ja c luvulla 33 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-70±\sqrt{70^{2}-4\times 25\times 33}}{2\times 25}$$

Korota 70 neliöön.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-4\times 25\times 33}}{2\times 25}$$

Kerro -4 ja 25.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-100\times 33}}{2\times 25}$$

Kerro -100 ja 33.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-3300}}{2\times 25}$$

Lisää 4900 lukuun -3300.

$$x=\frac{-70±\sqrt{1600}}{2\times 25}$$

Ota luvun 1600 neliöjuuri.

$$x=\frac{-70±40}{2\times 25}$$

Kerro 2 ja 25.

$$x=\frac{-70±40}{50}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-70±40}{50}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -70 lukuun 40.

$$x=-\frac{30}{50}$$

Supista murtoluku \frac{-30}{50} luvulla 10.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-70±40}{50}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 40 luvusta -70.

$$x=-\frac{110}{50}$$

Supista murtoluku \frac{-110}{50} luvulla 10.

$$x=-\frac{11}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(5x+7\right)^{2} laajentamiseen.

$$25x^{2}+70x+49=16$$

Vähennä 49 molemmilta puolilta.

$$25x^{2}+70x=16-49$$

Vähennä 49 luvusta 16 saadaksesi tuloksen -33.

$$25x^{2}+70x=-33$$

Jaa molemmat puolet luvulla 25.

$$\frac{25x^{2}+70x}{25}=-\frac{33}{25}$$

Jakaminen luvulla 25 kumoaa kertomisen luvulla 25.

$$x^{2}+\frac{70}{25}x=-\frac{33}{25}$$

Supista murtoluku \frac{70}{25} luvulla 5.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x=-\frac{33}{25}$$

Jaa \frac{14}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{7}{5}. Lisää sitten \frac{7}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\left(\frac{7}{5}\right)^{2}=-\frac{33}{25}+\left(\frac{7}{5}\right)^{2}$$

Korota \frac{7}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=\frac{-33+49}{25}$$

Lisää -\frac{33}{25} lukuun \frac{49}{25} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=\frac{16}{25}$$

Jaa x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{5}\right)^{2}=\frac{16}{25}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{25}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{7}{5}=\frac{4}{5} x+\frac{7}{5}=-\frac{4}{5}$$

Vähennä \frac{7}{5} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$