Ratkaise (5+a)^2+a=8+a

$$( 5 + a ) ^ { 2 } + a = 8 + a$$

Ratkaise muuttujan a suhteen

$$a=2\sqrt{2}-5\approx -2,171572875$$

$$a=-2\sqrt{2}-5\approx -7,828427125$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(5+a\right)^{2} laajentamiseen.

$$25+10a+a^{2}+a=8+a$$

Selvitä 11a yhdistämällä 10a ja a.

$$25+11a+a^{2}=8+a$$

Vähennä 8 molemmilta puolilta.

$$25+11a+a^{2}-8=a$$

Vähennä 8 luvusta 25 saadaksesi tuloksen 17.

$$17+11a+a^{2}=a$$

Vähennä a molemmilta puolilta.

$$17+11a+a^{2}-a=0$$

Selvitä 10a yhdistämällä 11a ja -a.

$$17+10a+a^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$a^{2}+10a+17=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 10 ja c luvulla 17 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 17}}{2}$$

Korota 10 neliöön.

$$a=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 17}}{2}$$

Kerro -4 ja 17.

$$a=\frac{-10±\sqrt{100-68}}{2}$$

Lisää 100 lukuun -68.

$$a=\frac{-10±\sqrt{32}}{2}$$

Ota luvun 32 neliöjuuri.

$$a=\frac{-10±4\sqrt{2}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö a=\frac{-10±4\sqrt{2}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -10 lukuun 4\sqrt{2}.

$$a=\frac{4\sqrt{2}-10}{2}$$

Jaa -10+4\sqrt{2} luvulla 2.

$$a=2\sqrt{2}-5$$

Ratkaise nyt yhtälö a=\frac{-10±4\sqrt{2}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{2} luvusta -10.

$$a=\frac{-4\sqrt{2}-10}{2}$$

Jaa -10-4\sqrt{2} luvulla 2.

$$a=-2\sqrt{2}-5$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$a=2\sqrt{2}-5 a=-2\sqrt{2}-5$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(5+a\right)^{2} laajentamiseen.

$$25+10a+a^{2}+a=8+a$$

Selvitä 11a yhdistämällä 10a ja a.

$$25+11a+a^{2}=8+a$$

Vähennä a molemmilta puolilta.

$$25+11a+a^{2}-a=8$$

Selvitä 10a yhdistämällä 11a ja -a.

$$25+10a+a^{2}=8$$

Vähennä 25 molemmilta puolilta.

$$10a+a^{2}=8-25$$

Vähennä 25 luvusta 8 saadaksesi tuloksen -17.

$$10a+a^{2}=-17$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$a^{2}+10a=-17$$

Jaa 10 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 5. Lisää sitten 5:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$a^{2}+10a+5^{2}=-17+5^{2}$$

Korota 5 neliöön.

$$a^{2}+10a+25=-17+25$$

Lisää -17 lukuun 25.

$$a^{2}+10a+25=8$$

Jaa a^{2}+10a+25 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a+5\right)^{2}=8$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(a+5\right)^{2}}=\sqrt{8}$$

Sievennä.

$$a+5=2\sqrt{2} a+5=-2\sqrt{2}$$

Vähennä 5 yhtälön molemmilta puolilta.

$$a=2\sqrt{2}-5 a=-2\sqrt{2}-5$$