Ratkaise (4x-1)^2=(x-1)(x+1)

$$( 4 x - 1 ) ^ { 2 } = ( x - 1 ) ( x + 1 )$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15}\approx 0,266666667+0,249443826i$$

$$x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}\approx 0,266666667-0,249443826i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(4x-1\right)^{2} laajentamiseen.

$$16x^{2}-8x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Tarkastele lauseketta \left(x-1\right)\left(x+1\right). Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Korota 1 neliöön.

$$16x^{2}-8x+1=x^{2}-1$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$16x^{2}-8x+1-x^{2}=-1$$

Selvitä 15x^{2} yhdistämällä 16x^{2} ja -x^{2}.

$$15x^{2}-8x+1=-1$$

Lisää 1 molemmille puolille.

$$15x^{2}-8x+1+1=0$$

Selvitä 2 laskemalla yhteen 1 ja 1.

$$15x^{2}-8x+2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 15, b luvulla -8 ja c luvulla 2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Korota -8 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Kerro -4 ja 15.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60\times 2}}{2\times 15}$$

Kerro -60 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-120}}{2\times 15}$$

Lisää 64 lukuun -120.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{-56}}{2\times 15}$$

Ota luvun -56 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{14}i}{2\times 15}$$

Luvun -8 vastaluku on 8.

$$x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{2\times 15}$$

Kerro 2 ja 15.

$$x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{30}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{30}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 8 lukuun 2i\sqrt{14}.

$$x=\frac{8+2\sqrt{14}i}{30}$$

Jaa 8+2i\sqrt{14} luvulla 30.

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{30}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{14} luvusta 8.

$$x=\frac{-2\sqrt{14}i+8}{30}$$

Jaa 8-2i\sqrt{14} luvulla 30.

$$x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15} x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(4x-1\right)^{2} laajentamiseen.

$$16x^{2}-8x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Tarkastele lauseketta \left(x-1\right)\left(x+1\right). Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Korota 1 neliöön.

$$16x^{2}-8x+1=x^{2}-1$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$16x^{2}-8x+1-x^{2}=-1$$

Selvitä 15x^{2} yhdistämällä 16x^{2} ja -x^{2}.

$$15x^{2}-8x+1=-1$$

Vähennä 1 molemmilta puolilta.

$$15x^{2}-8x=-1-1$$

Vähennä 1 luvusta -1 saadaksesi tuloksen -2.

$$15x^{2}-8x=-2$$

Jaa molemmat puolet luvulla 15.

$$\frac{15x^{2}-8x}{15}=-\frac{2}{15}$$

Jakaminen luvulla 15 kumoaa kertomisen luvulla 15.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x=-\frac{2}{15}$$

Jaa -\frac{8}{15} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{4}{15}. Lisää sitten -\frac{4}{15}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}$$

Korota -\frac{4}{15} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=-\frac{2}{15}+\frac{16}{225}$$

Lisää -\frac{2}{15} lukuun \frac{16}{225} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=-\frac{14}{225}$$

Jaa x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{14}{225}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{14}{225}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{4}{15}=\frac{\sqrt{14}i}{15} x-\frac{4}{15}=-\frac{\sqrt{14}i}{15}$$

Lisää \frac{4}{15} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15} x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}$$