Ratkaise (3x-5)(x+2)leqx^2

$$( 3 x - 5 ) ( x + 2 ) \leq x ^ { 2 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 3x-5 ja x+2 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$3x^{2}+x-10\leq x^{2}$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$3x^{2}+x-10-x^{2}\leq 0$$

Selvitä 2x^{2} yhdistämällä 3x^{2} ja -x^{2}.

$$2x^{2}+x-10\leq 0$$

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$2x^{2}+x-10=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 2 tilalle a, muuttujan 1 tilalle b ja muuttujan -10 tilalle c.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{-1±9}{4}$$

Ratkaise yhtälö x=\frac{-1±9}{4} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$2\left(x-2\right)\left(x+\frac{5}{2}\right)\leq 0$$

Jotta tulo on ≤0, jommankumman arvoista x-2 ja x+\frac{5}{2} on oltava ≥0 ja toisen on oltava ≤0. Tarkastele tapausta, jossa x-2\geq 0 ja x+\frac{5}{2}\leq 0.

$$x-2\geq 0 x+\frac{5}{2}\leq 0$$

Tämä on epätosi kaikilla x:n arvoilla.

$$x\in \emptyset$$

Tarkastele tapausta, jossa x-2\leq 0 ja x+\frac{5}{2}\geq 0.

$$x+\frac{5}{2}\geq 0 x-2\leq 0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x\in \left[-\frac{5}{2},2\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$

Lopullinen ratkaisu on saatujen ratkaisujen yhdistelmä.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$