Ratkaise (3x-1)^2-(2x+1)^2=7

$$( 3 x - 1 ) ^ { 2 } - ( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = 7$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{2\sqrt{15}}{5}+1\approx 2,549193338$$

$$x=-\frac{2\sqrt{15}}{5}+1\approx -0,549193338$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(3x-1\right)^{2} laajentamiseen.

$$9x^{2}-6x+1-\left(2x+1\right)^{2}=7$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(2x+1\right)^{2} laajentamiseen.

$$9x^{2}-6x+1-\left(4x^{2}+4x+1\right)=7$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen 4x^{2}+4x+1 vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$9x^{2}-6x+1-4x^{2}-4x-1=7$$

Selvitä 5x^{2} yhdistämällä 9x^{2} ja -4x^{2}.

$$5x^{2}-6x+1-4x-1=7$$

Selvitä -10x yhdistämällä -6x ja -4x.

$$5x^{2}-10x+1-1=7$$

Vähennä 1 luvusta 1 saadaksesi tuloksen 0.

$$5x^{2}-10x=7$$

Vähennä 7 molemmilta puolilta.

$$5x^{2}-10x-7=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla -10 ja c luvulla -7 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Korota -10 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-20\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja -7.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+140}}{2\times 5}$$

Lisää 100 lukuun 140.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{240}}{2\times 5}$$

Ota luvun 240 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±4\sqrt{15}}{2\times 5}$$

Luvun -10 vastaluku on 10.

$$x=\frac{10±4\sqrt{15}}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{10±4\sqrt{15}}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{10±4\sqrt{15}}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 10 lukuun 4\sqrt{15}.

$$x=\frac{4\sqrt{15}+10}{10}$$

Jaa 10+4\sqrt{15} luvulla 10.

$$x=\frac{2\sqrt{15}}{5}+1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{10±4\sqrt{15}}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{15} luvusta 10.

$$x=\frac{10-4\sqrt{15}}{10}$$

Jaa 10-4\sqrt{15} luvulla 10.

$$x=-\frac{2\sqrt{15}}{5}+1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{2\sqrt{15}}{5}+1 x=-\frac{2\sqrt{15}}{5}+1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(3x-1\right)^{2} laajentamiseen.

$$9x^{2}-6x+1-\left(2x+1\right)^{2}=7$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(2x+1\right)^{2} laajentamiseen.

$$9x^{2}-6x+1-\left(4x^{2}+4x+1\right)=7$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen 4x^{2}+4x+1 vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$9x^{2}-6x+1-4x^{2}-4x-1=7$$

Selvitä 5x^{2} yhdistämällä 9x^{2} ja -4x^{2}.

$$5x^{2}-6x+1-4x-1=7$$

Selvitä -10x yhdistämällä -6x ja -4x.

$$5x^{2}-10x+1-1=7$$

Vähennä 1 luvusta 1 saadaksesi tuloksen 0.

$$5x^{2}-10x=7$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}-10x}{5}=\frac{7}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{5}\right)x=\frac{7}{5}$$

Jaa -10 luvulla 5.

$$x^{2}-2x=\frac{7}{5}$$

Jaa -2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -1. Lisää sitten -1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-2x+1=\frac{7}{5}+1$$

Lisää \frac{7}{5} lukuun 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{12}{5}$$

Jaa x^{2}-2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{12}{5}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{12}{5}}$$

Sievennä.

$$x-1=\frac{2\sqrt{15}}{5} x-1=-\frac{2\sqrt{15}}{5}$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{2\sqrt{15}}{5}+1 x=-\frac{2\sqrt{15}}{5}+1$$