Ratkaise (3k-1)^2-4(k-2)(2k+1)geq0

$$( 3 k - 1 ) ^ { 2 } - 4 ( k - 2 ) ( 2 k + 1 ) \geq 0$$

Ratkaise muuttujan k suhteen

$$k\in \mathrm{R}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(3k-1\right)^{2} laajentamiseen.

$$9k^{2}-6k+1-4\left(k-2\right)\left(2k+1\right)\geq 0$$

Laske lukujen -4 ja k-2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$9k^{2}-6k+1+\left(-4k+8\right)\left(2k+1\right)\geq 0$$

Laske lukujen -4k+8 ja 2k+1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$9k^{2}-6k+1-8k^{2}+12k+8\geq 0$$

Selvitä k^{2} yhdistämällä 9k^{2} ja -8k^{2}.

$$k^{2}-6k+1+12k+8\geq 0$$

Selvitä 6k yhdistämällä -6k ja 12k.

$$k^{2}+6k+1+8\geq 0$$

Selvitä 9 laskemalla yhteen 1 ja 8.

$$k^{2}+6k+9\geq 0$$

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$k^{2}+6k+9=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 1 tilalle a, muuttujan 6 tilalle b ja muuttujan 9 tilalle c.

$$k=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 1\times 9}}{2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$k=\frac{-6±0}{2}$$

Ratkaisut ovat samat.

$$k=-3$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$\left(k+3\right)^{2}\geq 0$$

Epäyhtälö pätee, kun k\in \mathrm{R}.

$$k\in \mathrm{R}$$