Ratkaise (23-x)^2+x^2=17^2

$$( 23 - x ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 17 ^ { 2 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=8$$

$$x=15$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(23-x\right)^{2} laajentamiseen.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Selvitä 2x^{2} yhdistämällä x^{2} ja x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Laske 17 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Vähennä 289 molemmilta puolilta.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Vähennä 289 luvusta 529 saadaksesi tuloksen 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$120-23x+x^{2}=0$$

Järjestä polynomi perusmuotoon. Aseta termit suurimmasta potenssista pienimpään.

$$x^{2}-23x+120=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon x^{2}+ax+bx+120. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-23 ab=1\times 120=120$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -23.

$$a=-15 b=-8$$

Kirjoita \left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right) uudelleen muodossa x^{2}-23x+120.

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right)$$

Jaa x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja -8.

$$x\left(x-15\right)-8\left(x-15\right)$$

Jaa yleinen termi x-15 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-15\right)\left(x-8\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-15=0 ja x-8=0.

$$x=15 x=8$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(23-x\right)^{2} laajentamiseen.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Selvitä 2x^{2} yhdistämällä x^{2} ja x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Laske 17 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Vähennä 289 molemmilta puolilta.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Vähennä 289 luvusta 529 saadaksesi tuloksen 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}-46x+240=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -46 ja c luvulla 240 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{\left(-46\right)^{2}-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Korota -46 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-8\times 240}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja 240.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-1920}}{2\times 2}$$

Lisää 2116 lukuun -1920.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{196}}{2\times 2}$$

Ota luvun 196 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±14}{2\times 2}$$

Luvun -46 vastaluku on 46.

$$x=\frac{46±14}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{46±14}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{46±14}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 46 lukuun 14.

$$x=\frac{60}{4}$$

Jaa 60 luvulla 4.

$$x=15$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{46±14}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 14 luvusta 46.

$$x=\frac{32}{4}$$

Jaa 32 luvulla 4.

$$x=8$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=15 x=8$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(23-x\right)^{2} laajentamiseen.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Selvitä 2x^{2} yhdistämällä x^{2} ja x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Laske 17 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Vähennä 529 molemmilta puolilta.

$$-46x+2x^{2}=289-529$$

Vähennä 529 luvusta 289 saadaksesi tuloksen -240.

$$-46x+2x^{2}=-240$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-46x=-240$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-46x}{2}=-\frac{240}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{46}{2}\right)x=-\frac{240}{2}$$

Jaa -46 luvulla 2.

$$x^{2}-23x=-\frac{240}{2}$$

Jaa -240 luvulla 2.

$$x^{2}-23x=-120$$

Jaa -23 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{23}{2}. Lisää sitten -\frac{23}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-23x+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-120+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{23}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=-120+\frac{529}{4}$$

Lisää -120 lukuun \frac{529}{4}.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=\frac{49}{4}$$

Jaa x^{2}-23x+\frac{529}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{23}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{23}{2}=-\frac{7}{2}$$

Lisää \frac{23}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=15 x=8$$