Ratkaise (22+51x-10x^2)_{max}

$$( 22 + 51 x - 10 x ^ { 2 } ) _ { \max }$$

Jaa tekijöihin

$$-\left(2x-11\right)\left(5x+2\right)$$

Ratkaisun vaiheet

Järjestä polynomi perusmuotoon. Aseta termit suurimmasta potenssista pienimpään.

$$-10x^{2}+51x+22$$

Jaa lauseke tekijöihin ryhmittelemällä. Lauseke täytyy kirjoittaa ensin uudelleen muodossa -10x^{2}+ax+bx+22. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=51 ab=-10\times 22=-220$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -220.

$$-1,220 -2,110 -4,55 -5,44 -10,22 -11,20$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+220=219 -2+110=108 -4+55=51 -5+44=39 -10+22=12 -11+20=9$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 51.

$$a=55 b=-4$$

Kirjoita \left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right) uudelleen muodossa -10x^{2}+51x+22.

$$\left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right)$$

Jaa -5x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja -2.

$$-5x\left(2x-11\right)-2\left(2x-11\right)$$

Jaa yleinen termi 2x-11 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(2x-11\right)\left(-5x-2\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$-10x^{2}+51x+22=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Korota 51 neliöön.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Kerro -4 ja -10.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+40\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Kerro 40 ja 22.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+880}}{2\left(-10\right)}$$

Lisää 2601 lukuun 880.

$$x=\frac{-51±\sqrt{3481}}{2\left(-10\right)}$$

Ota luvun 3481 neliöjuuri.

$$x=\frac{-51±59}{2\left(-10\right)}$$

Kerro 2 ja -10.

$$x=\frac{-51±59}{-20}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-51±59}{-20}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -51 lukuun 59.

$$x=\frac{8}{-20}$$

Supista murtoluku \frac{8}{-20} luvulla 4.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-51±59}{-20}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 59 luvusta -51.

$$x=-\frac{110}{-20}$$

Supista murtoluku \frac{-110}{-20} luvulla 10.

$$x=\frac{11}{2}$$

Jaa alkuperäinen lauseke tekijöihin yhtälön ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) avulla. Korvaa -\frac{2}{5} kohteella x_{1} ja \frac{11}{2} kohteella x_{2}.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Sievennä kaavan p-\left(-q\right) kaikki lausekkeet muotoon p+q.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x+\frac{2}{5}\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Lisää \frac{2}{5} lukuun x selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Vähennä \frac{11}{2} luvusta x selvittämällä yhteinen nimittäjä ja vähentämällä osoittajat. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\times \frac{-2x+11}{-2}$$

Kerro \frac{-5x-2}{-5} ja \frac{-2x+11}{-2} kertomalla osoittajat keskenään ja nimittäjät keskenään. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{-5\left(-2\right)}$$

Kerro -5 ja -2.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{10}$$

Supista lausekkeiden -10 ja 10 suurin yhteinen tekijä 10.

$$-10x^{2}+51x+22=-\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)$$

Laske

$$22+51x-10x^{2}$$