Ratkaise (20-3x)(12-x)=112

$$( 20 - 3 x ) ( 12 - x ) = 112$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

$$x=16$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 20-3x ja 12-x tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$240-56x+3x^{2}=112$$

Vähennä 112 molemmilta puolilta.

$$240-56x+3x^{2}-112=0$$

Vähennä 112 luvusta 240 saadaksesi tuloksen 128.

$$128-56x+3x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}-56x+128=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -56 ja c luvulla 128 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{\left(-56\right)^{2}-4\times 3\times 128}}{2\times 3}$$

Korota -56 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-4\times 3\times 128}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-12\times 128}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja 128.

$$x=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-1536}}{2\times 3}$$

Lisää 3136 lukuun -1536.

$$x=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{1600}}{2\times 3}$$

Ota luvun 1600 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-56\right)±40}{2\times 3}$$

Luvun -56 vastaluku on 56.

$$x=\frac{56±40}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{56±40}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{56±40}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 56 lukuun 40.

$$x=\frac{96}{6}$$

Jaa 96 luvulla 6.

$$x=16$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{56±40}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 40 luvusta 56.

$$x=\frac{16}{6}$$

Supista murtoluku \frac{16}{6} luvulla 2.

$$x=\frac{8}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=16 x=\frac{8}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 20-3x ja 12-x tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$240-56x+3x^{2}=112$$

Vähennä 240 molemmilta puolilta.

$$-56x+3x^{2}=112-240$$

Vähennä 240 luvusta 112 saadaksesi tuloksen -128.

$$-56x+3x^{2}=-128$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-56x=-128$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}-56x}{3}=-\frac{128}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{56}{3}x=-\frac{128}{3}$$

Jaa -\frac{56}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{28}{3}. Lisää sitten -\frac{28}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{56}{3}x+\left(-\frac{28}{3}\right)^{2}=-\frac{128}{3}+\left(-\frac{28}{3}\right)^{2}$$

Korota -\frac{28}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{56}{3}x+\frac{784}{9}=-\frac{128}{3}+\frac{784}{9}$$

Lisää -\frac{128}{3} lukuun \frac{784}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{56}{3}x+\frac{784}{9}=\frac{400}{9}$$

Jaa x^{2}-\frac{56}{3}x+\frac{784}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{28}{3}\right)^{2}=\frac{400}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{28}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{400}{9}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{28}{3}=\frac{20}{3} x-\frac{28}{3}=-\frac{20}{3}$$

Lisää \frac{28}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=16 x=\frac{8}{3}$$