Ratkaise (2y+3)^2+y^2=4

$$( 2 y + 3 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4$$

Ratkaise muuttujan y suhteen

$$y=\frac{\sqrt{11}-6}{5}\approx -0,536675042$$

$$y=\frac{-\sqrt{11}-6}{5}\approx -1,863324958$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(2y+3\right)^{2} laajentamiseen.

$$4y^{2}+12y+9+y^{2}=4$$

Selvitä 5y^{2} yhdistämällä 4y^{2} ja y^{2}.

$$5y^{2}+12y+9=4$$

Vähennä 4 molemmilta puolilta.

$$5y^{2}+12y+9-4=0$$

Vähennä 4 luvusta 9 saadaksesi tuloksen 5.

$$5y^{2}+12y+5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla 12 ja c luvulla 5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

Korota 12 neliöön.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-20\times 5}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja 5.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-100}}{2\times 5}$$

Lisää 144 lukuun -100.

$$y=\frac{-12±\sqrt{44}}{2\times 5}$$

Ota luvun 44 neliöjuuri.

$$y=\frac{-12±2\sqrt{11}}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$y=\frac{-12±2\sqrt{11}}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{-12±2\sqrt{11}}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -12 lukuun 2\sqrt{11}.

$$y=\frac{2\sqrt{11}-12}{10}$$

Jaa -12+2\sqrt{11} luvulla 10.

$$y=\frac{\sqrt{11}-6}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{-12±2\sqrt{11}}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{11} luvusta -12.

$$y=\frac{-2\sqrt{11}-12}{10}$$

Jaa -12-2\sqrt{11} luvulla 10.

$$y=\frac{-\sqrt{11}-6}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$y=\frac{\sqrt{11}-6}{5} y=\frac{-\sqrt{11}-6}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(2y+3\right)^{2} laajentamiseen.

$$4y^{2}+12y+9+y^{2}=4$$

Selvitä 5y^{2} yhdistämällä 4y^{2} ja y^{2}.

$$5y^{2}+12y+9=4$$

Vähennä 9 molemmilta puolilta.

$$5y^{2}+12y=4-9$$

Vähennä 9 luvusta 4 saadaksesi tuloksen -5.

$$5y^{2}+12y=-5$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5y^{2}+12y}{5}=-\frac{5}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$y^{2}+\frac{12}{5}y=-\frac{5}{5}$$

Jaa -5 luvulla 5.

$$y^{2}+\frac{12}{5}y=-1$$

Jaa \frac{12}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{6}{5}. Lisää sitten \frac{6}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$y^{2}+\frac{12}{5}y+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}=-1+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}$$

Korota \frac{6}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$y^{2}+\frac{12}{5}y+\frac{36}{25}=-1+\frac{36}{25}$$

Lisää -1 lukuun \frac{36}{25}.

$$y^{2}+\frac{12}{5}y+\frac{36}{25}=\frac{11}{25}$$

Jaa y^{2}+\frac{12}{5}y+\frac{36}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{11}{25}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(y+\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{25}}$$

Sievennä.

$$y+\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{11}}{5} y+\frac{6}{5}=-\frac{\sqrt{11}}{5}$$

Vähennä \frac{6}{5} yhtälön molemmilta puolilta.

$$y=\frac{\sqrt{11}-6}{5} y=\frac{-\sqrt{11}-6}{5}$$