Ratkaise (2x-3)^2-(x+5)^2=-23

$$( 2 x - 3 ) ^ { 2 } - ( x + 5 ) ^ { 2 } = - 23$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$x=7$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(2x-3\right)^{2} laajentamiseen.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(x+5\right)^{2} laajentamiseen.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen x^{2}+10x+25 vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Selvitä 3x^{2} yhdistämällä 4x^{2} ja -x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Selvitä -22x yhdistämällä -12x ja -10x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Vähennä 25 luvusta 9 saadaksesi tuloksen -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Lisää 23 molemmille puolille.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Selvitä 7 laskemalla yhteen -16 ja 23.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 3x^{2}+ax+bx+7. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-22 ab=3\times 7=21$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 21.

$$-1,-21 -3,-7$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -22.

$$a=-21 b=-1$$

Kirjoita \left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right) uudelleen muodossa 3x^{2}-22x+7.

$$\left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right)$$

Jaa 3x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja -1.

$$3x\left(x-7\right)-\left(x-7\right)$$

Jaa yleinen termi x-7 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-7\right)\left(3x-1\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-7=0 ja 3x-1=0.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(2x-3\right)^{2} laajentamiseen.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(x+5\right)^{2} laajentamiseen.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen x^{2}+10x+25 vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Selvitä 3x^{2} yhdistämällä 4x^{2} ja -x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Selvitä -22x yhdistämällä -12x ja -10x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Vähennä 25 luvusta 9 saadaksesi tuloksen -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Lisää 23 molemmille puolille.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Selvitä 7 laskemalla yhteen -16 ja 23.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -22 ja c luvulla 7 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Korota -22 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-12\times 7}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja 7.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-84}}{2\times 3}$$

Lisää 484 lukuun -84.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

Ota luvun 400 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±20}{2\times 3}$$

Luvun -22 vastaluku on 22.

$$x=\frac{22±20}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{22±20}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{22±20}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 22 lukuun 20.

$$x=\frac{42}{6}$$

Jaa 42 luvulla 6.

$$x=7$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{22±20}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 20 luvusta 22.

$$x=\frac{2}{6}$$

Supista murtoluku \frac{2}{6} luvulla 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(2x-3\right)^{2} laajentamiseen.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(x+5\right)^{2} laajentamiseen.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen x^{2}+10x+25 vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Selvitä 3x^{2} yhdistämällä 4x^{2} ja -x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Selvitä -22x yhdistämällä -12x ja -10x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Vähennä 25 luvusta 9 saadaksesi tuloksen -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Lisää 16 molemmille puolille.

$$3x^{2}-22x=-23+16$$

Selvitä -7 laskemalla yhteen -23 ja 16.

$$3x^{2}-22x=-7$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}-22x}{3}=-\frac{7}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Jaa -\frac{22}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{11}{3}. Lisää sitten -\frac{11}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}$$

Korota -\frac{11}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{121}{9}$$

Lisää -\frac{7}{3} lukuun \frac{121}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=\frac{100}{9}$$

Jaa x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{11}{3}=\frac{10}{3} x-\frac{11}{3}=-\frac{10}{3}$$

Lisää \frac{11}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$