Ratkaise (2x-1)(-3x+4)=-6x+11x+4

$$( 2 x - 1 ) ( - 3 x + 4 ) = - 6 x + 11 x + 4$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{39}i}{6}+\frac{1}{2}\approx 0,5+1,040833i$$

$$x=-\frac{\sqrt{39}i}{6}+\frac{1}{2}\approx 0,5-1,040833i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 2x-1 ja -3x+4 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$-6x^{2}+11x-4=-6x+11x+4$$

Selvitä 5x yhdistämällä -6x ja 11x.

$$-6x^{2}+11x-4=5x+4$$

Vähennä 5x molemmilta puolilta.

$$-6x^{2}+11x-4-5x=4$$

Selvitä 6x yhdistämällä 11x ja -5x.

$$-6x^{2}+6x-4=4$$

Vähennä 4 molemmilta puolilta.

$$-6x^{2}+6x-4-4=0$$

Vähennä 4 luvusta -4 saadaksesi tuloksen -8.

$$-6x^{2}+6x-8=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -6, b luvulla 6 ja c luvulla -8 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-6\right)\left(-8\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Korota 6 neliöön.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-6\right)\left(-8\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Kerro -4 ja -6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+24\left(-8\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Kerro 24 ja -8.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-192}}{2\left(-6\right)}$$

Lisää 36 lukuun -192.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-156}}{2\left(-6\right)}$$

Ota luvun -156 neliöjuuri.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{39}i}{2\left(-6\right)}$$

Kerro 2 ja -6.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{39}i}{-12}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±2\sqrt{39}i}{-12}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -6 lukuun 2i\sqrt{39}.

$$x=\frac{-6+2\sqrt{39}i}{-12}$$

Jaa -6+2i\sqrt{39} luvulla -12.

$$x=-\frac{\sqrt{39}i}{6}+\frac{1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±2\sqrt{39}i}{-12}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{39} luvusta -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{39}i-6}{-12}$$

Jaa -6-2i\sqrt{39} luvulla -12.

$$x=\frac{\sqrt{39}i}{6}+\frac{1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\frac{\sqrt{39}i}{6}+\frac{1}{2} x=\frac{\sqrt{39}i}{6}+\frac{1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 2x-1 ja -3x+4 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$-6x^{2}+11x-4=-6x+11x+4$$

Selvitä 5x yhdistämällä -6x ja 11x.

$$-6x^{2}+11x-4=5x+4$$

Vähennä 5x molemmilta puolilta.

$$-6x^{2}+11x-4-5x=4$$

Selvitä 6x yhdistämällä 11x ja -5x.

$$-6x^{2}+6x-4=4$$

Lisää 4 molemmille puolille.

$$-6x^{2}+6x=4+4$$

Selvitä 8 laskemalla yhteen 4 ja 4.

$$-6x^{2}+6x=8$$

Jaa molemmat puolet luvulla -6.

$$\frac{-6x^{2}+6x}{-6}=\frac{8}{-6}$$

Jakaminen luvulla -6 kumoaa kertomisen luvulla -6.

$$x^{2}+\frac{6}{-6}x=\frac{8}{-6}$$

Jaa 6 luvulla -6.

$$x^{2}-x=\frac{8}{-6}$$

Supista murtoluku \frac{8}{-6} luvulla 2.

$$x^{2}-x=-\frac{4}{3}$$

Jaa -1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{2}. Lisää sitten -\frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{4}{3}+\frac{1}{4}$$

Lisää -\frac{4}{3} lukuun \frac{1}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{13}{12}$$

Jaa x^{2}-x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{13}{12}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{13}{12}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{39}i}{6} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{39}i}{6}$$

Lisää \frac{1}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{39}i}{6}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{39}i}{6}+\frac{1}{2}$$