Ratkaise (2x)^2-12(x+1)geq0

$$( 2 x ) ^ { 2 } - 12 ( x + 1 ) \geq 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x\in (-\infty,\frac{3-\sqrt{21}}{2}]\cup [\frac{\sqrt{21}+3}{2},\infty)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Lavenna \left(2x\right)^{2}.

$$2^{2}x^{2}-12\left(x+1\right)\geq 0$$

Laske 2 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 4.

$$4x^{2}-12\left(x+1\right)\geq 0$$

Laske lukujen -12 ja x+1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$4x^{2}-12x-12\geq 0$$

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$4x^{2}-12x-12=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 4 tilalle a, muuttujan -12 tilalle b ja muuttujan -12 tilalle c.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-12\right)}}{2\times 4}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{12±4\sqrt{21}}{8}$$

Ratkaise yhtälö x=\frac{12±4\sqrt{21}}{8} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=\frac{\sqrt{21}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$4\left(x-\frac{\sqrt{21}+3}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{21}}{2}\right)\geq 0$$

Jotta tulo on ≥0, arvojen x-\frac{\sqrt{21}+3}{2} ja x-\frac{3-\sqrt{21}}{2} on molempien oltava ≤0 tai ≥0. Tarkastele tapausta, jossa x-\frac{\sqrt{21}+3}{2} ja x-\frac{3-\sqrt{21}}{2} ovat molemmat ≤0.

$$x-\frac{\sqrt{21}+3}{2}\leq 0 x-\frac{3-\sqrt{21}}{2}\leq 0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x\leq \frac{3-\sqrt{21}}{2}.

$$x\leq \frac{3-\sqrt{21}}{2}$$

Tarkastele tapausta, jossa x-\frac{\sqrt{21}+3}{2} ja x-\frac{3-\sqrt{21}}{2} ovat molemmat ≥0.

$$x-\frac{3-\sqrt{21}}{2}\geq 0 x-\frac{\sqrt{21}+3}{2}\geq 0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x\geq \frac{\sqrt{21}+3}{2}.

$$x\geq \frac{\sqrt{21}+3}{2}$$

Lopullinen ratkaisu on saatujen ratkaisujen yhdistelmä.

$$x\leq \frac{3-\sqrt{21}}{2}\text{; }x\geq \frac{\sqrt{21}+3}{2}$$