Ratkaise (2x+5)^2-9=0

$$( 2 x + 5 ) ^ { 2 } - 9 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-1$$

$$x=-4$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(2x+5\right)^{2} laajentamiseen.

$$4x^{2}+20x+25-9=0$$

Vähennä 9 luvusta 25 saadaksesi tuloksen 16.

$$4x^{2}+20x+16=0$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$x^{2}+5x+4=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon x^{2}+ax+bx+4. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=5 ab=1\times 4=4$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on positiivinen, a ja b ovat molemmat positiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 4.

$$1,4 2,2$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+4=5 2+2=4$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 5.

$$a=1 b=4$$

Kirjoita \left(x^{2}+x\right)+\left(4x+4\right) uudelleen muodossa x^{2}+5x+4.

$$\left(x^{2}+x\right)+\left(4x+4\right)$$

Jaa x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 4.

$$x\left(x+1\right)+4\left(x+1\right)$$

Jaa yleinen termi x+1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x+1\right)\left(x+4\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x+1=0 ja x+4=0.

$$x=-1 x=-4$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(2x+5\right)^{2} laajentamiseen.

$$4x^{2}+20x+25-9=0$$

Vähennä 9 luvusta 25 saadaksesi tuloksen 16.

$$4x^{2}+20x+16=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla 20 ja c luvulla 16 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 4\times 16}}{2\times 4}$$

Korota 20 neliöön.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 4\times 16}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-16\times 16}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja 16.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-256}}{2\times 4}$$

Lisää 400 lukuun -256.

$$x=\frac{-20±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Ota luvun 144 neliöjuuri.

$$x=\frac{-20±12}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{-20±12}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-20±12}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -20 lukuun 12.

$$x=-\frac{8}{8}$$

Jaa -8 luvulla 8.

$$x=-1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-20±12}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 12 luvusta -20.

$$x=-\frac{32}{8}$$

Jaa -32 luvulla 8.

$$x=-4$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-1 x=-4$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(2x+5\right)^{2} laajentamiseen.

$$4x^{2}+20x+25-9=0$$

Vähennä 9 luvusta 25 saadaksesi tuloksen 16.

$$4x^{2}+20x+16=0$$

Vähennä 16 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$4x^{2}+20x=-16$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}+20x}{4}=-\frac{16}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{20}{4}x=-\frac{16}{4}$$

Jaa 20 luvulla 4.

$$x^{2}+5x=-\frac{16}{4}$$

Jaa -16 luvulla 4.

$$x^{2}+5x=-4$$

Jaa 5 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{5}{2}. Lisää sitten \frac{5}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-4+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{5}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-4+\frac{25}{4}$$

Lisää -4 lukuun \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{9}{4}$$

Jaa x^{2}+5x+\frac{25}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{3}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{3}{2}$$

Vähennä \frac{5}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-1 x=-4$$