Ratkaise (2x+4)^2-5x(7-3x)(7+3x)-(3x-2)^2-40x^2=-205

$$( 2 x + 4 ) ^ { 2 } - 5 x ( 7 - 3 x ) ( 7 + 3 x ) - ( 3 x - 2 ) ^ { 2 } - 40 x ^ { 2 } = - 205$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{1085}}{15} \approx 2,195955879$$

$$x = -\frac{\sqrt{1085}}{15} \approx -2,195955879$$

$$x=1$$

Ratkaisun vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(2x+4\right)^{2} laajentamiseen.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(3x-2\right)^{2}-40x^{2}=-205$$

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(3x-2\right)^{2} laajentamiseen.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(9x^{2}-12x+4\right)-40x^{2}=-205$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen 9x^{2}-12x+4 vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-9x^{2}+12x-4-40x^{2}=-205$$

Selvitä -49x^{2} yhdistämällä -9x^{2} ja -40x^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4=-205$$

Lisää 205 molemmille puolille.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4+205=0$$

Selvitä 201 laskemalla yhteen -4 ja 205.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Laske lukujen -5x ja 7-3x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$4x^{2}+16x+16+\left(-35x+15x^{2}\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Laske lukujen -35x+15x^{2} ja 7+3x tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$4x^{2}+16x+16-245x+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Selvitä -229x yhdistämällä 16x ja -245x.

$$4x^{2}-229x+16+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Selvitä -45x^{2} yhdistämällä 4x^{2} ja -49x^{2}.

$$-45x^{2}-229x+16+45x^{3}+12x+201=0$$

Selvitä -217x yhdistämällä -229x ja 12x.

$$-45x^{2}-217x+16+45x^{3}+201=0$$

Selvitä 217 laskemalla yhteen 16 ja 201.

$$-45x^{2}-217x+217+45x^{3}=0$$

Järjestä yhtälö perusmuotoon. Aseta termit suurimmasta potenssista pienimpään.

$$45x^{3}-45x^{2}-217x+217=0$$

Rationaaliluvulle lause, Kaikki polynomin rationaaliluvulle ovat muodossa \frac{p}{q}, jossa p jakaa vakio termin 217 ja q jakaa alku kertoimen 45. Luettele kaikki ehdokkaat \frac{p}{q}.

$$±\frac{217}{45},±\frac{217}{15},±\frac{217}{9},±\frac{217}{5},±\frac{217}{3},±217,±\frac{31}{45},±\frac{31}{15},±\frac{31}{9},±\frac{31}{5},±\frac{31}{3},±31,±\frac{7}{45},±\frac{7}{15},±\frac{7}{9},±\frac{7}{5},±\frac{7}{3},±7,±\frac{1}{45},±\frac{1}{15},±\frac{1}{9},±\frac{1}{5},±\frac{1}{3},±1$$

Etsi yksi tällainen juuri kokeilemalla kaikkia kokonaislukuarvoja pienimmästä alkaen absoluuttisen arvon mukaan. Jos kokonaislukujuuria ei löydy, kokeile murtolukuja.

$$x=1$$

Tekijä lause x-k on kunkin k pääsivuston polynomin kerroin. Jaa 45x^{3}-45x^{2}-217x+217 luvulla x-1, jolloin ratkaisuksi tulee 45x^{2}-217. Ratkaise yhtälö, kun sen tulos on yhtä suuri kuin 0.

$$45x^{2}-217=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 45 tilalle a, muuttujan 0 tilalle b ja muuttujan -217 tilalle c.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 45\left(-217\right)}}{2\times 45}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{0±6\sqrt{1085}}{90}$$

Ratkaise yhtälö 45x^{2}-217=0 kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$

Luetteloi kaikki löydetyt ratkaisut.

$$x=1 x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$