Ratkaise (2x+3)(x^2-16)+(x-4)(x+40)=2(x-4)(x^2-16)

$$( 2 x + 3 ) ( x ^ { 2 } - 16 ) + ( x - 4 ) ( x + 40 ) = 2 ( x - 4 ) ( x ^ { 2 } - 16 )$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-7$$

$$x=4$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Laske lukujen 2x+3 ja x^{2}-16 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Laske lukujen x-4 ja x+40 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Selvitä 4x^{2} yhdistämällä 3x^{2} ja x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Selvitä 4x yhdistämällä -32x ja 36x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Vähennä 160 luvusta -48 saadaksesi tuloksen -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Laske lukujen 2 ja x-4 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Laske lukujen 2x-8 ja x^{2}-16 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Vähennä 2x^{3} molemmilta puolilta.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Selvitä 0 yhdistämällä 2x^{3} ja -2x^{3}.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Lisää 32x molemmille puolille.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Selvitä 36x yhdistämällä 4x ja 32x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Lisää 8x^{2} molemmille puolille.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Selvitä 12x^{2} yhdistämällä 4x^{2} ja 8x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Vähennä 128 molemmilta puolilta.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Vähennä 128 luvusta -208 saadaksesi tuloksen -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Jaa molemmat puolet luvulla 12.

$$3x+x^{2}-28=0$$

Järjestä polynomi perusmuotoon. Aseta termit suurimmasta potenssista pienimpään.

$$x^{2}+3x-28=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon x^{2}+ax+bx-28. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 3.

$$a=-4 b=7$$

Kirjoita \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right) uudelleen muodossa x^{2}+3x-28.

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

Jaa x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 7.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

Jaa yleinen termi x-4 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-4=0 ja x+7=0.

$$x=4 x=-7$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 2x+3 ja x^{2}-16 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Laske lukujen x-4 ja x+40 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Selvitä 4x^{2} yhdistämällä 3x^{2} ja x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Selvitä 4x yhdistämällä -32x ja 36x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Vähennä 160 luvusta -48 saadaksesi tuloksen -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Laske lukujen 2 ja x-4 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Laske lukujen 2x-8 ja x^{2}-16 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Vähennä 2x^{3} molemmilta puolilta.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Selvitä 0 yhdistämällä 2x^{3} ja -2x^{3}.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Lisää 32x molemmille puolille.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Selvitä 36x yhdistämällä 4x ja 32x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Lisää 8x^{2} molemmille puolille.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Selvitä 12x^{2} yhdistämällä 4x^{2} ja 8x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Vähennä 128 molemmilta puolilta.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Vähennä 128 luvusta -208 saadaksesi tuloksen -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$12x^{2}+36x-336=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 12, b luvulla 36 ja c luvulla -336 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Korota 36 neliöön.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Kerro -4 ja 12.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Kerro -48 ja -336.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296+16128}}{2\times 12}$$

Lisää 1296 lukuun 16128.

$$x=\frac{-36±\sqrt{17424}}{2\times 12}$$

Ota luvun 17424 neliöjuuri.

$$x=\frac{-36±132}{2\times 12}$$

Kerro 2 ja 12.

$$x=\frac{-36±132}{24}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-36±132}{24}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -36 lukuun 132.

$$x=\frac{96}{24}$$

Jaa 96 luvulla 24.

$$x=4$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-36±132}{24}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 132 luvusta -36.

$$x=-\frac{168}{24}$$

Jaa -168 luvulla 24.

$$x=-7$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=4 x=-7$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 2x+3 ja x^{2}-16 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Laske lukujen x-4 ja x+40 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Selvitä 4x^{2} yhdistämällä 3x^{2} ja x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Selvitä 4x yhdistämällä -32x ja 36x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Vähennä 160 luvusta -48 saadaksesi tuloksen -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Laske lukujen 2 ja x-4 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Laske lukujen 2x-8 ja x^{2}-16 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Vähennä 2x^{3} molemmilta puolilta.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Selvitä 0 yhdistämällä 2x^{3} ja -2x^{3}.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Lisää 32x molemmille puolille.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Selvitä 36x yhdistämällä 4x ja 32x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Lisää 8x^{2} molemmille puolille.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Selvitä 12x^{2} yhdistämällä 4x^{2} ja 8x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Lisää 208 molemmille puolille.

$$36x+12x^{2}=128+208$$

Selvitä 336 laskemalla yhteen 128 ja 208.

$$36x+12x^{2}=336$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+36x=336$$

Jaa molemmat puolet luvulla 12.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=\frac{336}{12}$$

Jakaminen luvulla 12 kumoaa kertomisen luvulla 12.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=\frac{336}{12}$$

Jaa 36 luvulla 12.

$$x^{2}+3x=\frac{336}{12}$$

Jaa 336 luvulla 12.

$$x^{2}+3x=28$$

Jaa 3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{2}. Lisää sitten \frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Lisää 28 lukuun \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Jaa x^{2}+3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Vähennä \frac{3}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=4 x=-7$$