Ratkaise (2x+1)(x-3)=114

$$( 2 x + 1 ) ( x - 3 ) = 114$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{13}{2} = -6\frac{1}{2} = -6,5$$

$$x=9$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 2x+1 ja x-3 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$2x^{2}-5x-3=114$$

Vähennä 114 molemmilta puolilta.

$$2x^{2}-5x-3-114=0$$

Vähennä 114 luvusta -3 saadaksesi tuloksen -117.

$$2x^{2}-5x-117=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -5 ja c luvulla -117 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\left(-117\right)}}{2\times 2}$$

Korota -5 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\left(-117\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\left(-117\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -117.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+936}}{2\times 2}$$

Lisää 25 lukuun 936.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{961}}{2\times 2}$$

Ota luvun 961 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±31}{2\times 2}$$

Luvun -5 vastaluku on 5.

$$x=\frac{5±31}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{5±31}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±31}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 5 lukuun 31.

$$x=\frac{36}{4}$$

Jaa 36 luvulla 4.

$$x=9$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±31}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 31 luvusta 5.

$$x=-\frac{26}{4}$$

Supista murtoluku \frac{-26}{4} luvulla 2.

$$x=-\frac{13}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=9 x=-\frac{13}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 2x+1 ja x-3 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$2x^{2}-5x-3=114$$

Lisää 3 molemmille puolille.

$$2x^{2}-5x=114+3$$

Selvitä 117 laskemalla yhteen 114 ja 3.

$$2x^{2}-5x=117$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=\frac{117}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{117}{2}$$

Jaa -\frac{5}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{4}. Lisää sitten -\frac{5}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{117}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{117}{2}+\frac{25}{16}$$

Lisää \frac{117}{2} lukuun \frac{25}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{961}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{961}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{31}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{31}{4}$$

Lisää \frac{5}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=9 x=-\frac{13}{2}$$