Ratkaise (2t-3)^2-8(2t-3)+7=0

$$( 2 t - 3 ) ^ { 2 } - 8 ( 2 t - 3 ) + 7 = 0$$

Ratkaise muuttujan t suhteen

$$t=2$$

$$t=5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(2t-3\right)^{2} laajentamiseen.

$$4t^{2}-12t+9-8\left(2t-3\right)+7=0$$

Laske lukujen -8 ja 2t-3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$4t^{2}-12t+9-16t+24+7=0$$

Selvitä -28t yhdistämällä -12t ja -16t.

$$4t^{2}-28t+9+24+7=0$$

Selvitä 33 laskemalla yhteen 9 ja 24.

$$4t^{2}-28t+33+7=0$$

Selvitä 40 laskemalla yhteen 33 ja 7.

$$4t^{2}-28t+40=0$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$t^{2}-7t+10=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon t^{2}+at+bt+10. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-7 ab=1\times 10=10$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 10.

$$-1,-10 -2,-5$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-10=-11 -2-5=-7$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -7.

$$a=-5 b=-2$$

Kirjoita \left(t^{2}-5t\right)+\left(-2t+10\right) uudelleen muodossa t^{2}-7t+10.

$$\left(t^{2}-5t\right)+\left(-2t+10\right)$$

Jaa t toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja -2.

$$t\left(t-5\right)-2\left(t-5\right)$$

Jaa yleinen termi t-5 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(t-5\right)\left(t-2\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista t-5=0 ja t-2=0.

$$t=5 t=2$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(2t-3\right)^{2} laajentamiseen.

$$4t^{2}-12t+9-8\left(2t-3\right)+7=0$$

Laske lukujen -8 ja 2t-3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$4t^{2}-12t+9-16t+24+7=0$$

Selvitä -28t yhdistämällä -12t ja -16t.

$$4t^{2}-28t+9+24+7=0$$

Selvitä 33 laskemalla yhteen 9 ja 24.

$$4t^{2}-28t+33+7=0$$

Selvitä 40 laskemalla yhteen 33 ja 7.

$$4t^{2}-28t+40=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla -28 ja c luvulla 40 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

Korota -28 neliöön.

$$t=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$t=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-16\times 40}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja 40.

$$t=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-640}}{2\times 4}$$

Lisää 784 lukuun -640.

$$t=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Ota luvun 144 neliöjuuri.

$$t=\frac{-\left(-28\right)±12}{2\times 4}$$

Luvun -28 vastaluku on 28.

$$t=\frac{28±12}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$t=\frac{28±12}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{28±12}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 28 lukuun 12.

$$t=\frac{40}{8}$$

Jaa 40 luvulla 8.

$$t=5$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{28±12}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 12 luvusta 28.

$$t=\frac{16}{8}$$

Jaa 16 luvulla 8.

$$t=2$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$t=5 t=2$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(2t-3\right)^{2} laajentamiseen.

$$4t^{2}-12t+9-8\left(2t-3\right)+7=0$$

Laske lukujen -8 ja 2t-3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$4t^{2}-12t+9-16t+24+7=0$$

Selvitä -28t yhdistämällä -12t ja -16t.

$$4t^{2}-28t+9+24+7=0$$

Selvitä 33 laskemalla yhteen 9 ja 24.

$$4t^{2}-28t+33+7=0$$

Selvitä 40 laskemalla yhteen 33 ja 7.

$$4t^{2}-28t+40=0$$

Vähennä 40 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$4t^{2}-28t=-40$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4t^{2}-28t}{4}=-\frac{40}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$t^{2}+\left(-\frac{28}{4}\right)t=-\frac{40}{4}$$

Jaa -28 luvulla 4.

$$t^{2}-7t=-\frac{40}{4}$$

Jaa -40 luvulla 4.

$$t^{2}-7t=-10$$

Jaa -7 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{7}{2}. Lisää sitten -\frac{7}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$t^{2}-7t+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-10+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{7}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$t^{2}-7t+\frac{49}{4}=-10+\frac{49}{4}$$

Lisää -10 lukuun \frac{49}{4}.

$$t^{2}-7t+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}$$

Jaa t^{2}-7t+\frac{49}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(t-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Sievennä.

$$t-\frac{7}{2}=\frac{3}{2} t-\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$$

Lisää \frac{7}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$t=5 t=2$$