Ratkaise (2-x)^2+(3x+1)(3x-1)-1/2[8-5x+5x(2x+1)]=0

$$( 2 - x ) ^ { 2 } + ( 3 x + 1 ) ( 3 x - 1 ) - \frac { 1 } { 2 } [ 8 - 5 x + 5 x ( 2 x + 1 ) ] = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=1$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(2-x\right)^{2} laajentamiseen.

$$4-4x+x^{2}+\left(3x+1\right)\left(3x-1\right)-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

Tarkastele lauseketta \left(3x+1\right)\left(3x-1\right). Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Korota 1 neliöön.

$$4-4x+x^{2}+\left(3x\right)^{2}-1-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

Lavenna \left(3x\right)^{2}.

$$4-4x+x^{2}+3^{2}x^{2}-1-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

Laske 3 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 9.

$$4-4x+x^{2}+9x^{2}-1-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

Selvitä 10x^{2} yhdistämällä x^{2} ja 9x^{2}.

$$4-4x+10x^{2}-1-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

Vähennä 1 luvusta 4 saadaksesi tuloksen 3.

$$3-4x+10x^{2}-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

Laske lukujen 5x ja 2x+1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$3-4x+10x^{2}-\frac{1}{2}\left(8-5x+10x^{2}+5x\right)=0$$

Selvitä 0 yhdistämällä -5x ja 5x.

$$3-4x+10x^{2}-\frac{1}{2}\left(8+10x^{2}\right)=0$$

Laske lukujen -\frac{1}{2} ja 8+10x^{2} tulo käyttämällä osittelulakia.

$$3-4x+10x^{2}-4-5x^{2}=0$$

Vähennä 4 luvusta 3 saadaksesi tuloksen -1.

$$-1-4x+10x^{2}-5x^{2}=0$$

Selvitä 5x^{2} yhdistämällä 10x^{2} ja -5x^{2}.

$$-1-4x+5x^{2}=0$$

Järjestä polynomi perusmuotoon. Aseta termit suurimmasta potenssista pienimpään.

$$5x^{2}-4x-1=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 5x^{2}+ax+bx-1. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-4 ab=5\left(-1\right)=-5$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Ainoa tällainen pari on järjestelmäratkaisu.

$$a=-5 b=1$$

Kirjoita \left(5x^{2}-5x\right)+\left(x-1\right) uudelleen muodossa 5x^{2}-4x-1.

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(x-1\right)$$

Ota 5x tekijäksi lausekkeessa 5x^{2}-5x.

$$5x\left(x-1\right)+x-1$$

Jaa yleinen termi x-1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-1=0 ja 5x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(2-x\right)^{2} laajentamiseen.

$$4-4x+x^{2}+\left(3x+1\right)\left(3x-1\right)-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

Tarkastele lauseketta \left(3x+1\right)\left(3x-1\right). Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Korota 1 neliöön.

$$4-4x+x^{2}+\left(3x\right)^{2}-1-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

Lavenna \left(3x\right)^{2}.

$$4-4x+x^{2}+3^{2}x^{2}-1-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

Laske 3 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 9.

$$4-4x+x^{2}+9x^{2}-1-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

Selvitä 10x^{2} yhdistämällä x^{2} ja 9x^{2}.

$$4-4x+10x^{2}-1-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

Vähennä 1 luvusta 4 saadaksesi tuloksen 3.

$$3-4x+10x^{2}-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

Laske lukujen 5x ja 2x+1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$3-4x+10x^{2}-\frac{1}{2}\left(8-5x+10x^{2}+5x\right)=0$$

Selvitä 0 yhdistämällä -5x ja 5x.

$$3-4x+10x^{2}-\frac{1}{2}\left(8+10x^{2}\right)=0$$

Laske lukujen -\frac{1}{2} ja 8+10x^{2} tulo käyttämällä osittelulakia.

$$3-4x+10x^{2}-4-5x^{2}=0$$

Vähennä 4 luvusta 3 saadaksesi tuloksen -1.

$$-1-4x+10x^{2}-5x^{2}=0$$

Selvitä 5x^{2} yhdistämällä 10x^{2} ja -5x^{2}.

$$-1-4x+5x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}-4x-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla -4 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Korota -4 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+20}}{2\times 5}$$

Lisää 16 lukuun 20.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{36}}{2\times 5}$$

Ota luvun 36 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±6}{2\times 5}$$

Luvun -4 vastaluku on 4.

$$x=\frac{4±6}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{4±6}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±6}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 4 lukuun 6.

$$x=\frac{10}{10}$$

Jaa 10 luvulla 10.

$$x=1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±6}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 6 luvusta 4.

$$x=-\frac{2}{10}$$

Supista murtoluku \frac{-2}{10} luvulla 2.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(2-x\right)^{2} laajentamiseen.

$$4-4x+x^{2}+\left(3x+1\right)\left(3x-1\right)-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

Tarkastele lauseketta \left(3x+1\right)\left(3x-1\right). Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Korota 1 neliöön.

$$4-4x+x^{2}+\left(3x\right)^{2}-1-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

Lavenna \left(3x\right)^{2}.

$$4-4x+x^{2}+3^{2}x^{2}-1-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

Laske 3 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 9.

$$4-4x+x^{2}+9x^{2}-1-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

Selvitä 10x^{2} yhdistämällä x^{2} ja 9x^{2}.

$$4-4x+10x^{2}-1-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

Vähennä 1 luvusta 4 saadaksesi tuloksen 3.

$$3-4x+10x^{2}-\frac{1}{2}\left(8-5x+5x\left(2x+1\right)\right)=0$$

Laske lukujen 5x ja 2x+1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$3-4x+10x^{2}-\frac{1}{2}\left(8-5x+10x^{2}+5x\right)=0$$

Selvitä 0 yhdistämällä -5x ja 5x.

$$3-4x+10x^{2}-\frac{1}{2}\left(8+10x^{2}\right)=0$$

Laske lukujen -\frac{1}{2} ja 8+10x^{2} tulo käyttämällä osittelulakia.

$$3-4x+10x^{2}-4-5x^{2}=0$$

Vähennä 4 luvusta 3 saadaksesi tuloksen -1.

$$-1-4x+10x^{2}-5x^{2}=0$$

Selvitä 5x^{2} yhdistämällä 10x^{2} ja -5x^{2}.

$$-1-4x+5x^{2}=0$$

Lisää 1 molemmille puolille. Nolla plus mikä tahansa luku on luku itse.

$$-4x+5x^{2}=1$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-4x=1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=\frac{1}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=\frac{1}{5}$$

Jaa -\frac{4}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{2}{5}. Lisää sitten -\frac{2}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{1}{5}+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Korota -\frac{2}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{1}{5}+\frac{4}{25}$$

Lisää \frac{1}{5} lukuun \frac{4}{25} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{9}{25}$$

Jaa x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{9}{25}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{25}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{3}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{3}{5}$$

Lisää \frac{2}{5} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$