Ratkaise (2-1/2t)^2+(-1+1/2t)^2=4

$$( 2 - \frac { 1 } { 2 } t ) ^ { 2 } + ( - 1 + \frac { 1 } { 2 } t ) ^ { 2 } = 4$$

Ratkaise muuttujan t suhteen

$$t=\sqrt{7}+3\approx 5,645751311$$

$$t=3-\sqrt{7}\approx 0,354248689$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(2-\frac{1}{2}t\right)^{2} laajentamiseen.

$$4-2t+\frac{1}{4}t^{2}+\left(-1+\frac{1}{2}t\right)^{2}=4$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(-1+\frac{1}{2}t\right)^{2} laajentamiseen.

$$4-2t+\frac{1}{4}t^{2}+1-t+\frac{1}{4}t^{2}=4$$

Selvitä 5 laskemalla yhteen 4 ja 1.

$$5-2t+\frac{1}{4}t^{2}-t+\frac{1}{4}t^{2}=4$$

Selvitä -3t yhdistämällä -2t ja -t.

$$5-3t+\frac{1}{4}t^{2}+\frac{1}{4}t^{2}=4$$

Selvitä \frac{1}{2}t^{2} yhdistämällä \frac{1}{4}t^{2} ja \frac{1}{4}t^{2}.

$$5-3t+\frac{1}{2}t^{2}=4$$

Vähennä 4 molemmilta puolilta.

$$5-3t+\frac{1}{2}t^{2}-4=0$$

Vähennä 4 luvusta 5 saadaksesi tuloksen 1.

$$1-3t+\frac{1}{2}t^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$\frac{1}{2}t^{2}-3t+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla \frac{1}{2}, b luvulla -3 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times \frac{1}{2}}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Korota -3 neliöön.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times \frac{1}{2}}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Kerro -4 ja \frac{1}{2}.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-2}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Lisää 9 lukuun -2.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{7}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Luvun -3 vastaluku on 3.

$$t=\frac{3±\sqrt{7}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Kerro 2 ja \frac{1}{2}.

$$t=\frac{3±\sqrt{7}}{1}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{3±\sqrt{7}}{1}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 3 lukuun \sqrt{7}.

$$t=\frac{\sqrt{7}+3}{1}$$

Jaa 3+\sqrt{7} luvulla 1.

$$t=\sqrt{7}+3$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{3±\sqrt{7}}{1}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{7} luvusta 3.

$$t=\frac{3-\sqrt{7}}{1}$$

Jaa 3-\sqrt{7} luvulla 1.

$$t=3-\sqrt{7}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$t=\sqrt{7}+3 t=3-\sqrt{7}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(2-\frac{1}{2}t\right)^{2} laajentamiseen.

$$4-2t+\frac{1}{4}t^{2}+\left(-1+\frac{1}{2}t\right)^{2}=4$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(-1+\frac{1}{2}t\right)^{2} laajentamiseen.

$$4-2t+\frac{1}{4}t^{2}+1-t+\frac{1}{4}t^{2}=4$$

Selvitä 5 laskemalla yhteen 4 ja 1.

$$5-2t+\frac{1}{4}t^{2}-t+\frac{1}{4}t^{2}=4$$

Selvitä -3t yhdistämällä -2t ja -t.

$$5-3t+\frac{1}{4}t^{2}+\frac{1}{4}t^{2}=4$$

Selvitä \frac{1}{2}t^{2} yhdistämällä \frac{1}{4}t^{2} ja \frac{1}{4}t^{2}.

$$5-3t+\frac{1}{2}t^{2}=4$$

Vähennä 5 molemmilta puolilta.

$$-3t+\frac{1}{2}t^{2}=4-5$$

Vähennä 5 luvusta 4 saadaksesi tuloksen -1.

$$-3t+\frac{1}{2}t^{2}=-1$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{2}t^{2}-3t=-1$$

Kerro molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{\frac{1}{2}t^{2}-3t}{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{\frac{1}{2}}$$

Jakaminen luvulla \frac{1}{2} kumoaa kertomisen luvulla \frac{1}{2}.

$$t^{2}+\left(-\frac{3}{\frac{1}{2}}\right)t=-\frac{1}{\frac{1}{2}}$$

Jaa -3 luvulla \frac{1}{2} kertomalla -3 luvun \frac{1}{2} käänteisluvulla.

$$t^{2}-6t=-\frac{1}{\frac{1}{2}}$$

Jaa -1 luvulla \frac{1}{2} kertomalla -1 luvun \frac{1}{2} käänteisluvulla.

$$t^{2}-6t=-2$$

Jaa -6 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -3. Lisää sitten -3:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$t^{2}-6t+\left(-3\right)^{2}=-2+\left(-3\right)^{2}$$

Korota -3 neliöön.

$$t^{2}-6t+9=-2+9$$

Lisää -2 lukuun 9.

$$t^{2}-6t+9=7$$

Jaa t^{2}-6t+9 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-3\right)^{2}=7$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(t-3\right)^{2}}=\sqrt{7}$$

Sievennä.

$$t-3=\sqrt{7} t-3=-\sqrt{7}$$

Lisää 3 yhtälön kummallekin puolelle.

$$t=\sqrt{7}+3 t=3-\sqrt{7}$$