Ratkaise (2)2x^2+7x-4=0

$$( 2 ) 2 x ^ { 2 } + 7 x - 4 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{113}-7}{8}\approx 0,453768227$$

$$x=\frac{-\sqrt{113}-7}{8}\approx -2,203768227$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kerro 2 ja 2, niin saadaan 4.

$$4x^{2}+7x-4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla 7 ja c luvulla -4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 4\left(-4\right)}}{2\times 4}$$

Korota 7 neliöön.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 4\left(-4\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-16\left(-4\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+64}}{2\times 4}$$

Lisää 49 lukuun 64.

$$x=\frac{-7±\sqrt{113}}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{113}}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±\sqrt{113}}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -7 lukuun \sqrt{113}.

$$x=\frac{\sqrt{113}-7}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±\sqrt{113}}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{113} luvusta -7.

$$x=\frac{-\sqrt{113}-7}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{113}-7}{8} x=\frac{-\sqrt{113}-7}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Kerro 2 ja 2, niin saadaan 4.

$$4x^{2}+7x-4=0$$

Lisää 4 molemmille puolille. Nolla plus mikä tahansa luku on luku itse.

$$4x^{2}+7x=4$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}+7x}{4}=\frac{4}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=\frac{4}{4}$$

Jaa 4 luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=1$$

Jaa \frac{7}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{7}{8}. Lisää sitten \frac{7}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=1+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Korota \frac{7}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=1+\frac{49}{64}$$

Lisää 1 lukuun \frac{49}{64}.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{113}{64}$$

Jaa x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{113}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{113}{64}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{113}}{8} x+\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{113}}{8}$$

Vähennä \frac{7}{8} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{113}-7}{8} x=\frac{-\sqrt{113}-7}{8}$$