Ratkaise (16-x)x=120

$$( 16 - x ) x = 120$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=-2\sqrt{14}i+8\approx 8-7,483314774i$$

$$x=8+2\sqrt{14}i\approx 8+7,483314774i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 16-x ja x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$16x-x^{2}=120$$

Vähennä 120 molemmilta puolilta.

$$16x-x^{2}-120=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+16x-120=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 16 ja c luvulla -120 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-1\right)\left(-120\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 16 neliöön.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-1\right)\left(-120\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+4\left(-120\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja -120.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-480}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 256 lukuun -480.

$$x=\frac{-16±\sqrt{-224}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun -224 neliöjuuri.

$$x=\frac{-16±4\sqrt{14}i}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-16±4\sqrt{14}i}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-16±4\sqrt{14}i}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -16 lukuun 4i\sqrt{14}.

$$x=\frac{-16+4\sqrt{14}i}{-2}$$

Jaa -16+4i\sqrt{14} luvulla -2.

$$x=-2\sqrt{14}i+8$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-16±4\sqrt{14}i}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4i\sqrt{14} luvusta -16.

$$x=\frac{-4\sqrt{14}i-16}{-2}$$

Jaa -16-4i\sqrt{14} luvulla -2.

$$x=8+2\sqrt{14}i$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-2\sqrt{14}i+8 x=8+2\sqrt{14}i$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 16-x ja x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$16x-x^{2}=120$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+16x=120$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}+16x}{-1}=\frac{120}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{16}{-1}x=\frac{120}{-1}$$

Jaa 16 luvulla -1.

$$x^{2}-16x=\frac{120}{-1}$$

Jaa 120 luvulla -1.

$$x^{2}-16x=-120$$

Jaa -16 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -8. Lisää sitten -8:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-16x+\left(-8\right)^{2}=-120+\left(-8\right)^{2}$$

Korota -8 neliöön.

$$x^{2}-16x+64=-120+64$$

Lisää -120 lukuun 64.

$$x^{2}-16x+64=-56$$

Jaa x^{2}-16x+64 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-8\right)^{2}=-56$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-8\right)^{2}}=\sqrt{-56}$$

Sievennä.

$$x-8=2\sqrt{14}i x-8=-2\sqrt{14}i$$

Lisää 8 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=8+2\sqrt{14}i x=-2\sqrt{14}i+8$$