Ratkaise (16-x)(9-x)=112

$$( 16 - x ) ( 9 - x ) = 112$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{25 - \sqrt{497}}{2} \approx 1,353251595$$

$$x = \frac{\sqrt{497} + 25}{2} \approx 23,646748405$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 16-x ja 9-x tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$144-25x+x^{2}=112$$

Vähennä 112 molemmilta puolilta.

$$144-25x+x^{2}-112=0$$

Vähennä 112 luvusta 144 saadaksesi tuloksen 32.

$$32-25x+x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-25x+32=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -25 ja c luvulla 32 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\times 32}}{2}$$

Korota -25 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 32}}{2}$$

Kerro -4 ja 32.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-128}}{2}$$

Lisää 625 lukuun -128.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{497}}{2}$$

Luvun -25 vastaluku on 25.

$$x=\frac{25±\sqrt{497}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{25±\sqrt{497}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 25 lukuun \sqrt{497}.

$$x=\frac{\sqrt{497}+25}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{25±\sqrt{497}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{497} luvusta 25.

$$x=\frac{25-\sqrt{497}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{497}+25}{2} x=\frac{25-\sqrt{497}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 16-x ja 9-x tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$144-25x+x^{2}=112$$

Vähennä 144 molemmilta puolilta.

$$-25x+x^{2}=112-144$$

Vähennä 144 luvusta 112 saadaksesi tuloksen -32.

$$-25x+x^{2}=-32$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-25x=-32$$

Jaa -25 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{25}{2}. Lisää sitten -\frac{25}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-25x+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-32+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{25}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-32+\frac{625}{4}$$

Lisää -32 lukuun \frac{625}{4}.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=\frac{497}{4}$$

Jaa x^{2}-25x+\frac{625}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{497}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{497}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{25}{2}=\frac{\sqrt{497}}{2} x-\frac{25}{2}=-\frac{\sqrt{497}}{2}$$

Lisää \frac{25}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{497}+25}{2} x=\frac{25-\sqrt{497}}{2}$$