Ratkaise (11n^2+2n-8)+(4n^2-5n+7)

$$( 11 n ^ { 2 } + 2 n - 8 ) + ( 4 n ^ { 2 } - 5 n + 7 )$$

Laske

$$15n^{2}-3n-1$$

Ratkaisun vaiheet

Selvitä 15n^{2} yhdistämällä 11n^{2} ja 4n^{2}.

$$15n^{2}+2n-8-5n+7$$

Selvitä -3n yhdistämällä 2n ja -5n.

$$15n^{2}-3n-8+7$$

Selvitä -1 laskemalla yhteen -8 ja 7.

$$15n^{2}-3n-1$$

Jaa tekijöihin

$$15\left(n-\left(-\frac{\sqrt{69}}{30}+\frac{1}{10}\right)\right)\left(n-\left(\frac{\sqrt{69}}{30}+\frac{1}{10}\right)\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Selvitä 15n^{2} yhdistämällä 11n^{2} ja 4n^{2}.

$$factor(15n^{2}+2n-8-5n+7)$$

Selvitä -3n yhdistämällä 2n ja -5n.

$$factor(15n^{2}-3n-8+7)$$

Selvitä -1 laskemalla yhteen -8 ja 7.

$$factor(15n^{2}-3n-1)$$

Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$15n^{2}-3n-1=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$n=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 15\left(-1\right)}}{2\times 15}$$

Korota -3 neliöön.

$$n=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 15\left(-1\right)}}{2\times 15}$$

Kerro -4 ja 15.

$$n=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-60\left(-1\right)}}{2\times 15}$$

Kerro -60 ja -1.

$$n=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+60}}{2\times 15}$$

Lisää 9 lukuun 60.

$$n=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{69}}{2\times 15}$$

Luvun -3 vastaluku on 3.

$$n=\frac{3±\sqrt{69}}{2\times 15}$$

Kerro 2 ja 15.

$$n=\frac{3±\sqrt{69}}{30}$$

Ratkaise nyt yhtälö n=\frac{3±\sqrt{69}}{30}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 3 lukuun \sqrt{69}.

$$n=\frac{\sqrt{69}+3}{30}$$

Jaa 3+\sqrt{69} luvulla 30.

$$n=\frac{\sqrt{69}}{30}+\frac{1}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö n=\frac{3±\sqrt{69}}{30}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{69} luvusta 3.

$$n=\frac{3-\sqrt{69}}{30}$$

Jaa 3-\sqrt{69} luvulla 30.

$$n=-\frac{\sqrt{69}}{30}+\frac{1}{10}$$

Jaa alkuperäinen lauseke tekijöihin yhtälön ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) avulla. Korvaa \frac{1}{10}+\frac{\sqrt{69}}{30} kohteella x_{1} ja \frac{1}{10}-\frac{\sqrt{69}}{30} kohteella x_{2}.

$$15n^{2}-3n-1=15\left(n-\left(\frac{\sqrt{69}}{30}+\frac{1}{10}\right)\right)\left(n-\left(-\frac{\sqrt{69}}{30}+\frac{1}{10}\right)\right)$$