Ratkaise (100)^2+(x+100)^2=(2x+100)^2

$$( 100 ) ^ { 2 } + ( x + 100 ) ^ { 2 } = ( 2 x + 100 ) ^ { 2 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{100}{3} = 33\frac{1}{3} \approx 33,333333333$$

$$x=-100$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Laske 100 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(x+100\right)^{2} laajentamiseen.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

Selvitä 20000 laskemalla yhteen 10000 ja 10000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(2x+100\right)^{2} laajentamiseen.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Vähennä 4x^{2} molemmilta puolilta.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Selvitä -3x^{2} yhdistämällä x^{2} ja -4x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Vähennä 400x molemmilta puolilta.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Selvitä -200x yhdistämällä 200x ja -400x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Vähennä 10000 molemmilta puolilta.

$$20000-3x^{2}-200x-10000=0$$

Vähennä 10000 luvusta 20000 saadaksesi tuloksen 10000.

$$10000-3x^{2}-200x=0$$

Järjestä polynomi perusmuotoon. Aseta termit suurimmasta potenssista pienimpään.

$$-3x^{2}-200x+10000=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon -3x^{2}+ax+bx+10000. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-200 ab=-3\times 10000=-30000$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -30000.

$$1,-30000 2,-15000 3,-10000 4,-7500 5,-6000 6,-5000 8,-3750 10,-3000 12,-2500 15,-2000 16,-1875 20,-1500 24,-1250 25,-1200 30,-1000 40,-750 48,-625 50,-600 60,-500 75,-400 80,-375 100,-300 120,-250 125,-240 150,-200$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-30000=-29999 2-15000=-14998 3-10000=-9997 4-7500=-7496 5-6000=-5995 6-5000=-4994 8-3750=-3742 10-3000=-2990 12-2500=-2488 15-2000=-1985 16-1875=-1859 20-1500=-1480 24-1250=-1226 25-1200=-1175 30-1000=-970 40-750=-710 48-625=-577 50-600=-550 60-500=-440 75-400=-325 80-375=-295 100-300=-200 120-250=-130 125-240=-115 150-200=-50$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -200.

$$a=100 b=-300$$

Kirjoita \left(-3x^{2}+100x\right)+\left(-300x+10000\right) uudelleen muodossa -3x^{2}-200x+10000.

$$\left(-3x^{2}+100x\right)+\left(-300x+10000\right)$$

Jaa -x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja -100.

$$-x\left(3x-100\right)-100\left(3x-100\right)$$

Jaa yleinen termi 3x-100 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(3x-100\right)\left(-x-100\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 3x-100=0 ja -x-100=0.

$$x=\frac{100}{3} x=-100$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske 100 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(x+100\right)^{2} laajentamiseen.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

Selvitä 20000 laskemalla yhteen 10000 ja 10000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(2x+100\right)^{2} laajentamiseen.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Vähennä 4x^{2} molemmilta puolilta.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Selvitä -3x^{2} yhdistämällä x^{2} ja -4x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Vähennä 400x molemmilta puolilta.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Selvitä -200x yhdistämällä 200x ja -400x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Vähennä 10000 molemmilta puolilta.

$$20000-3x^{2}-200x-10000=0$$

Vähennä 10000 luvusta 20000 saadaksesi tuloksen 10000.

$$10000-3x^{2}-200x=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-3x^{2}-200x+10000=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -3, b luvulla -200 ja c luvulla 10000 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{\left(-200\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

Korota -200 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000-4\left(-3\right)\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro -4 ja -3.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+12\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro 12 ja 10000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+120000}}{2\left(-3\right)}$$

Lisää 40000 lukuun 120000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{160000}}{2\left(-3\right)}$$

Ota luvun 160000 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±400}{2\left(-3\right)}$$

Luvun -200 vastaluku on 200.

$$x=\frac{200±400}{2\left(-3\right)}$$

Kerro 2 ja -3.

$$x=\frac{200±400}{-6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{200±400}{-6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 200 lukuun 400.

$$x=\frac{600}{-6}$$

Jaa 600 luvulla -6.

$$x=-100$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{200±400}{-6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 400 luvusta 200.

$$x=-\frac{200}{-6}$$

Supista murtoluku \frac{-200}{-6} luvulla 2.

$$x=\frac{100}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-100 x=\frac{100}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske 100 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(x+100\right)^{2} laajentamiseen.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

Selvitä 20000 laskemalla yhteen 10000 ja 10000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(2x+100\right)^{2} laajentamiseen.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Vähennä 4x^{2} molemmilta puolilta.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Selvitä -3x^{2} yhdistämällä x^{2} ja -4x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Vähennä 400x molemmilta puolilta.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Selvitä -200x yhdistämällä 200x ja -400x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Vähennä 20000 molemmilta puolilta.

$$-3x^{2}-200x=10000-20000$$

Vähennä 20000 luvusta 10000 saadaksesi tuloksen -10000.

$$-3x^{2}-200x=-10000$$

Jaa molemmat puolet luvulla -3.

$$\frac{-3x^{2}-200x}{-3}=-\frac{10000}{-3}$$

Jakaminen luvulla -3 kumoaa kertomisen luvulla -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{200}{-3}\right)x=-\frac{10000}{-3}$$

Jaa -200 luvulla -3.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=-\frac{10000}{-3}$$

Jaa -10000 luvulla -3.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{10000}{3}$$

Jaa \frac{200}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{100}{3}. Lisää sitten \frac{100}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{10000}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

Korota \frac{100}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{10000}{3}+\frac{10000}{9}$$

Lisää \frac{10000}{3} lukuun \frac{10000}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{40000}{9}$$

Jaa x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{40000}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{40000}{9}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{200}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{200}{3}$$

Vähennä \frac{100}{3} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{100}{3} x=-100$$