Ratkaise (12+x)*(1*2-x)=108

$$( 12 + x ) \times ( 1 \cdot 2 - x ) = 108$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=-\sqrt{59}i-5\approx -5-7,681145748i$$

$$x=-5+\sqrt{59}i\approx -5+7,681145748i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kerro 1 ja 2, niin saadaan 2.

$$\left(12+x\right)\left(2-x\right)=108$$

Laske lukujen 12+x ja 2-x tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$24-10x-x^{2}=108$$

Vähennä 108 molemmilta puolilta.

$$24-10x-x^{2}-108=0$$

Vähennä 108 luvusta 24 saadaksesi tuloksen -84.

$$-84-10x-x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}-10x-84=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla -10 ja c luvulla -84 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-84\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota -10 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\left(-1\right)\left(-84\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+4\left(-84\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja -84.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-336}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 100 lukuun -336.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-236}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun -236 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{59}i}{2\left(-1\right)}$$

Luvun -10 vastaluku on 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{59}i}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{10±2\sqrt{59}i}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{10±2\sqrt{59}i}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 10 lukuun 2i\sqrt{59}.

$$x=\frac{10+2\sqrt{59}i}{-2}$$

Jaa 10+2i\sqrt{59} luvulla -2.

$$x=-\sqrt{59}i-5$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{10±2\sqrt{59}i}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{59} luvusta 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{59}i+10}{-2}$$

Jaa 10-2i\sqrt{59} luvulla -2.

$$x=-5+\sqrt{59}i$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\sqrt{59}i-5 x=-5+\sqrt{59}i$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Kerro 1 ja 2, niin saadaan 2.

$$\left(12+x\right)\left(2-x\right)=108$$

Laske lukujen 12+x ja 2-x tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$24-10x-x^{2}=108$$

Vähennä 24 molemmilta puolilta.

$$-10x-x^{2}=108-24$$

Vähennä 24 luvusta 108 saadaksesi tuloksen 84.

$$-10x-x^{2}=84$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-10x=84$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}-10x}{-1}=\frac{84}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{-1}\right)x=\frac{84}{-1}$$

Jaa -10 luvulla -1.

$$x^{2}+10x=\frac{84}{-1}$$

Jaa 84 luvulla -1.

$$x^{2}+10x=-84$$

Jaa 10 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 5. Lisää sitten 5:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+10x+5^{2}=-84+5^{2}$$

Korota 5 neliöön.

$$x^{2}+10x+25=-84+25$$

Lisää -84 lukuun 25.

$$x^{2}+10x+25=-59$$

Jaa x^{2}+10x+25 tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+5\right)^{2}=-59$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{-59}$$

Sievennä.

$$x+5=\sqrt{59}i x+5=-\sqrt{59}i$$

Vähennä 5 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-5+\sqrt{59}i x=-\sqrt{59}i-5$$