Ratkaise (-y^2-2y+3)+(-7y^2+4)

$$( - y ^ { 2 } - 2 y + 3 ) + ( - 7 y ^ { 2 } + 4 )$$

Laske

$$7-2y-8y^{2}$$

Ratkaisun vaiheet

Selvitä 7 laskemalla yhteen 3 ja 4.

$$-y^{2}-2y+7-7y^{2}$$

Selvitä -8y^{2} yhdistämällä -y^{2} ja -7y^{2}.

$$-8y^{2}-2y+7$$

Jaa tekijöihin

$$-8\left(y-\frac{-\sqrt{57}-1}{8}\right)\left(y-\frac{\sqrt{57}-1}{8}\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Selvitä 7 laskemalla yhteen 3 ja 4.

$$factor(-y^{2}-2y+7-7y^{2})$$

Selvitä -8y^{2} yhdistämällä -y^{2} ja -7y^{2}.

$$factor(-8y^{2}-2y+7)$$

Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$-8y^{2}-2y+7=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-8\right)\times 7}}{2\left(-8\right)}$$

Korota -2 neliöön.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-8\right)\times 7}}{2\left(-8\right)}$$

Kerro -4 ja -8.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+32\times 7}}{2\left(-8\right)}$$

Kerro 32 ja 7.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+224}}{2\left(-8\right)}$$

Lisää 4 lukuun 224.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{228}}{2\left(-8\right)}$$

Ota luvun 228 neliöjuuri.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{57}}{2\left(-8\right)}$$

Luvun -2 vastaluku on 2.

$$y=\frac{2±2\sqrt{57}}{2\left(-8\right)}$$

Kerro 2 ja -8.

$$y=\frac{2±2\sqrt{57}}{-16}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{2±2\sqrt{57}}{-16}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 2 lukuun 2\sqrt{57}.

$$y=\frac{2\sqrt{57}+2}{-16}$$

Jaa 2+2\sqrt{57} luvulla -16.

$$y=\frac{-\sqrt{57}-1}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{2±2\sqrt{57}}{-16}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{57} luvusta 2.

$$y=\frac{2-2\sqrt{57}}{-16}$$

Jaa 2-2\sqrt{57} luvulla -16.

$$y=\frac{\sqrt{57}-1}{8}$$

Jaa alkuperäinen lauseke tekijöihin yhtälön ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) avulla. Korvaa \frac{-1-\sqrt{57}}{8} kohteella x_{1} ja \frac{-1+\sqrt{57}}{8} kohteella x_{2}.

$$-8y^{2}-2y+7=-8\left(y-\frac{-\sqrt{57}-1}{8}\right)\left(y-\frac{\sqrt{57}-1}{8}\right)$$