Ratkaise (-2x+9)(-9x+5)+(-9x-5)^2=0

$$( - 2 x + 9 ) ( - 9 x + 5 ) + ( - 9 x - 5 ) ^ { 2 } = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{27719}i}{198}\approx 0,005050505+0,840859798i$$

$$x=\frac{-\sqrt{27719}i+1}{198}\approx 0,005050505-0,840859798i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen -2x+9 ja -9x+5 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$18x^{2}-91x+45+\left(-9x-5\right)^{2}=0$$

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(-9x-5\right)^{2} laajentamiseen.

$$18x^{2}-91x+45+81x^{2}+90x+25=0$$

Selvitä 99x^{2} yhdistämällä 18x^{2} ja 81x^{2}.

$$99x^{2}-91x+45+90x+25=0$$

Selvitä -x yhdistämällä -91x ja 90x.

$$99x^{2}-x+45+25=0$$

Selvitä 70 laskemalla yhteen 45 ja 25.

$$99x^{2}-x+70=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 99, b luvulla -1 ja c luvulla 70 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 99\times 70}}{2\times 99}$$

Kerro -4 ja 99.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-396\times 70}}{2\times 99}$$

Kerro -396 ja 70.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-27720}}{2\times 99}$$

Lisää 1 lukuun -27720.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-27719}}{2\times 99}$$

Ota luvun -27719 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{27719}i}{2\times 99}$$

Luvun -1 vastaluku on 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{27719}i}{2\times 99}$$

Kerro 2 ja 99.

$$x=\frac{1±\sqrt{27719}i}{198}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±\sqrt{27719}i}{198}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 1 lukuun i\sqrt{27719}.

$$x=\frac{1+\sqrt{27719}i}{198}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±\sqrt{27719}i}{198}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{27719} luvusta 1.

$$x=\frac{-\sqrt{27719}i+1}{198}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{1+\sqrt{27719}i}{198} x=\frac{-\sqrt{27719}i+1}{198}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen -2x+9 ja -9x+5 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$18x^{2}-91x+45+\left(-9x-5\right)^{2}=0$$

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(-9x-5\right)^{2} laajentamiseen.

$$18x^{2}-91x+45+81x^{2}+90x+25=0$$

Selvitä 99x^{2} yhdistämällä 18x^{2} ja 81x^{2}.

$$99x^{2}-91x+45+90x+25=0$$

Selvitä -x yhdistämällä -91x ja 90x.

$$99x^{2}-x+45+25=0$$

Selvitä 70 laskemalla yhteen 45 ja 25.

$$99x^{2}-x+70=0$$

Vähennä 70 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$99x^{2}-x=-70$$

Jaa molemmat puolet luvulla 99.

$$\frac{99x^{2}-x}{99}=-\frac{70}{99}$$

Jakaminen luvulla 99 kumoaa kertomisen luvulla 99.

$$x^{2}-\frac{1}{99}x=-\frac{70}{99}$$

Jaa -\frac{1}{99} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{198}. Lisää sitten -\frac{1}{198}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{1}{99}x+\left(-\frac{1}{198}\right)^{2}=-\frac{70}{99}+\left(-\frac{1}{198}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{198} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{1}{99}x+\frac{1}{39204}=-\frac{70}{99}+\frac{1}{39204}$$

Lisää -\frac{70}{99} lukuun \frac{1}{39204} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{1}{99}x+\frac{1}{39204}=-\frac{27719}{39204}$$

Jaa x^{2}-\frac{1}{99}x+\frac{1}{39204} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{198}\right)^{2}=-\frac{27719}{39204}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{198}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{27719}{39204}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{198}=\frac{\sqrt{27719}i}{198} x-\frac{1}{198}=-\frac{\sqrt{27719}i}{198}$$

Lisää \frac{1}{198} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{1+\sqrt{27719}i}{198} x=\frac{-\sqrt{27719}i+1}{198}$$