Ratkaise (x^2-5x+3)=8

$$( { x }^{ 2 } -5x+3)=8$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{3 \sqrt{5} + 5}{2} \approx 5,854101966$$

$$x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}\approx -0,854101966$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-5x+3=8$$

Vähennä 8 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}-5x+3-8=8-8$$

Kun luku 8 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-5x+3-8=0$$

Vähennä 8 luvusta 3.

$$x^{2}-5x-5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -5 ja c luvulla -5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-5\right)}}{2}$$

Korota -5 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-5\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+20}}{2}$$

Lisää 25 lukuun 20.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{45}}{2}$$

Ota luvun 45 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3\sqrt{5}}{2}$$

Luvun -5 vastaluku on 5.

$$x=\frac{5±3\sqrt{5}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±3\sqrt{5}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 5 lukuun 3\sqrt{5}.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+5}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±3\sqrt{5}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3\sqrt{5} luvusta 5.

$$x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+5}{2} x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-5x+3=8$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}-5x+3-3=8-3$$

Kun luku 3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-5x=8-3$$

Vähennä 3 luvusta 8.

$$x^{2}-5x=5$$

Jaa -5 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{2}. Lisää sitten -\frac{5}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=5+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=5+\frac{25}{4}$$

Lisää 5 lukuun \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{45}{4}$$

Jaa x^{2}-5x+\frac{25}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{45}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{3\sqrt{5}}{2}$$

Lisää \frac{5}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+5}{2} x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}$$