Ratkaise (sqrt{a}+sqrt{b})(sqrt{a}-sqrt{b})=a-b

$$( \sqrt { a } + \sqrt { b } ) ( \sqrt { a } - \sqrt { b } ) = a - b$$

Ratkaise muuttujan a suhteen (complex solution)

$$a\in \mathrm{C}$$

Ratkaisun vaiheet

Tarkastele lauseketta \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right). Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\sqrt{a}\right)^{2}-\left(\sqrt{b}\right)^{2}=a-b$$

Laske \sqrt{a} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee a.

$$a-\left(\sqrt{b}\right)^{2}=a-b$$

Laske \sqrt{b} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee b.

$$a-b=a-b$$

Vähennä a molemmilta puolilta.

$$a-b-a=-b$$

Selvitä 0 yhdistämällä a ja -a.

$$-b=-b$$

Supista -1 molemmilta puolilta.

$$b=b$$

Järjestä termit uudelleen.

$$\text{true}$$

Tämä on tosi kaikilla a:n arvoilla.

$$a\in \mathrm{C}$$

Ratkaise muuttujan b suhteen (complex solution)

$$b\in \mathrm{C}$$

Ratkaisun vaiheet

Tarkastele lauseketta \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right). Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\sqrt{a}\right)^{2}-\left(\sqrt{b}\right)^{2}=a-b$$

Laske \sqrt{a} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee a.

$$a-\left(\sqrt{b}\right)^{2}=a-b$$

Laske \sqrt{b} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee b.

$$a-b=a-b$$

Lisää b molemmille puolille.

$$a-b+b=a$$

Selvitä 0 yhdistämällä -b ja b.

$$a=a$$

Järjestä termit uudelleen.

$$\text{true}$$

Tämä on tosi kaikilla b:n arvoilla.

$$b\in \mathrm{C}$$

Ratkaise muuttujan a suhteen

$$a\geq 0$$

$$b\geq 0$$

Ratkaisun vaiheet

Tarkastele lauseketta \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right). Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\sqrt{a}\right)^{2}-\left(\sqrt{b}\right)^{2}=a-b$$

Laske \sqrt{a} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee a.

$$a-\left(\sqrt{b}\right)^{2}=a-b$$

Laske \sqrt{b} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee b.

$$a-b=a-b$$

Vähennä a molemmilta puolilta.

$$a-b-a=-b$$

Selvitä 0 yhdistämällä a ja -a.

$$-b=-b$$

Supista -1 molemmilta puolilta.

$$b=b$$

Järjestä termit uudelleen.

$$\text{true}$$

Tämä on tosi kaikilla a:n arvoilla.

$$a\in \mathrm{R}$$

Ratkaise muuttujan b suhteen

$$b\geq 0$$

$$a\geq 0$$

Ratkaisun vaiheet

Tarkastele lauseketta \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right). Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\sqrt{a}\right)^{2}-\left(\sqrt{b}\right)^{2}=a-b$$

Laske \sqrt{a} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee a.

$$a-\left(\sqrt{b}\right)^{2}=a-b$$

Laske \sqrt{b} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee b.

$$a-b=a-b$$

Lisää b molemmille puolille.

$$a-b+b=a$$

Selvitä 0 yhdistämällä -b ja b.

$$a=a$$

Järjestä termit uudelleen.

$$\text{true}$$

Tämä on tosi kaikilla b:n arvoilla.

$$b\in \mathrm{R}$$