Ratkaise (sqrt{2}+sqrt{5})^2-(2+sqrt{10})^2+sqrt{90}+(2sqrt{2}-1)(2sqrt{2}+1)

$$( \sqrt { 2 } + \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } - ( 2 + \sqrt { 10 } ) ^ { 2 } + \sqrt { 90 } + ( 2 \sqrt { 2 } - 1 ) ( 2 \sqrt { 2 } + 1 )$$

Laske

$$\sqrt{10}\approx 3,16227766$$

Ratkaisun vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)^{2} laajentamiseen.

$$\left(\sqrt{2}\right)^{2}+2\sqrt{2}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Luvun \sqrt{2} neliö on 2.

$$2+2\sqrt{2}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Jos haluat kertoa \sqrt{2} ja \sqrt{5}, kerro numerot neliö pääkansiossa.

$$2+2\sqrt{10}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Luvun \sqrt{5} neliö on 5.

$$2+2\sqrt{10}+5-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Selvitä 7 laskemalla yhteen 2 ja 5.

$$7+2\sqrt{10}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(2+\sqrt{10}\right)^{2} laajentamiseen.

$$7+2\sqrt{10}-\left(4+4\sqrt{10}+\left(\sqrt{10}\right)^{2}\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Luvun \sqrt{10} neliö on 10.

$$7+2\sqrt{10}-\left(4+4\sqrt{10}+10\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Selvitä 14 laskemalla yhteen 4 ja 10.

$$7+2\sqrt{10}-\left(14+4\sqrt{10}\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen 14+4\sqrt{10} vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$7+2\sqrt{10}-14-4\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Vähennä 14 luvusta 7 saadaksesi tuloksen -7.

$$-7+2\sqrt{10}-4\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Selvitä -2\sqrt{10} yhdistämällä 2\sqrt{10} ja -4\sqrt{10}.

$$-7-2\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Jaa 90=3^{2}\times 10 tekijöihin. Kirjoita tuotteen neliö juuri \sqrt{3^{2}\times 10} neliö juuren tulo \sqrt{3^{2}}\sqrt{10}. Ota luvun 3^{2} neliöjuuri.

$$-7-2\sqrt{10}+3\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Selvitä \sqrt{10} yhdistämällä -2\sqrt{10} ja 3\sqrt{10}.

$$-7+\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Tarkastele lauseketta \left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right). Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Korota 1 neliöön.

$$-7+\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

Lavenna \left(2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$-7+\sqrt{10}+2^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

Laske 2 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 4.

$$-7+\sqrt{10}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

Luvun \sqrt{2} neliö on 2.

$$-7+\sqrt{10}+4\times 2-1$$

Kerro 4 ja 2, niin saadaan 8.

$$-7+\sqrt{10}+8-1$$

Vähennä 1 luvusta 8 saadaksesi tuloksen 7.

$$-7+\sqrt{10}+7$$

Selvitä 0 laskemalla yhteen -7 ja 7.

$$\sqrt{10}$$