Ratkaise (siny)

$$( \sin y )$$

Derivoi muuttujan y suhteen

$$\cos(y)$$

Vaiheet, joissa käytetään derivaatan määritelmää

Funktion f\left(x\right) derivaatta on raja-arvo \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}, kun h lähestyy arvoa 0, jos kyseinen raja-arvo on olemassa.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}(\sin(y))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y+h)-\sin(y)}{h}\right)$$

Käytä sinin summakaavaa.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y+h)-\sin(y)}{h}$$

Jaa tekijöihin \sin(y):n suhteen.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(y)\sin(h)}{h}$$

Kirjoita raja-arvo uudelleen.

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(y)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(y)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Käytä tietoa, että y on vakio, laskettaessa raja-arvoa, kun h lähestyy arvoa 0.

$$\sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Raja-arvo \lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{y} on 1.

$$\sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y)$$

Jos haluat määrittää raja-arvon \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, kerro ensin osoittaja ja nimittäjä luvulla \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Kerro \cos(h)+1 ja \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Käytä Pythagoraan identiteettiä.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Kirjoita raja-arvo uudelleen.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Raja-arvo \lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{y} on 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Käytä tietoa, että \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} on jatkuva arvolla 0.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Sijoita arvo 0 yhtälöön \sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y).

$$\cos(y)$$

Laske

$$\sin(y)$$