Ratkaise (6/25+x)^2x=32

$$( \frac { 6 } { 25 + x } ) ^ { 2 } x = 32$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16}\approx -24,4375-5,273385416i$$

$$x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16}\approx -24,4375+5,273385416i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kohota \frac{6}{25+x} potenssiin kohottamalla sekä osoittaja että nimittäjä potenssiin ja jakamalla sitten.

$$\frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x=32$$

Ilmaise \frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x säännöllisenä murtolukuna.

$$\frac{6^{2}x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

Laske 6 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 36.

$$\frac{36x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(25+x\right)^{2} laajentamiseen.

$$\frac{36x}{625+50x+x^{2}}=32$$

Vähennä 32 molemmilta puolilta.

$$\frac{36x}{625+50x+x^{2}}-32=0$$

Jaa 625+50x+x^{2} tekijöihin.

$$\frac{36x}{\left(x+25\right)^{2}}-32=0$$

Jos haluat lisätä tai vähentää lausekkeita, lavenna ne niin, että niiden nimittäjät ovat samat. Kerro 32 ja \frac{\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}}.

$$\frac{36x}{\left(x+25\right)^{2}}-\frac{32\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

Koska arvoilla \frac{36x}{\left(x+25\right)^{2}} ja \frac{32\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}} on sama nimittäjä, laske niiden erotus vähentämällä niiden osoittajat toisistaan.

$$\frac{36x-32\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

Suorita kertolaskut kohteessa 36x-32\left(x+25\right)^{2}.

$$\frac{36x-32x^{2}-1600x-20000}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

Yhdistä samanmuotoiset termit yhtälössä 36x-32x^{2}-1600x-20000.

$$\frac{-1564x-32x^{2}-20000}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin -25, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x+25\right)^{2}.

$$-1564x-32x^{2}-20000=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-32x^{2}-1564x-20000=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -32, b luvulla -1564 ja c luvulla -20000 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{\left(-1564\right)^{2}-4\left(-32\right)\left(-20000\right)}}{2\left(-32\right)}$$

Korota -1564 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{2446096-4\left(-32\right)\left(-20000\right)}}{2\left(-32\right)}$$

Kerro -4 ja -32.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{2446096+128\left(-20000\right)}}{2\left(-32\right)}$$

Kerro 128 ja -20000.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{2446096-2560000}}{2\left(-32\right)}$$

Lisää 2446096 lukuun -2560000.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{-113904}}{2\left(-32\right)}$$

Ota luvun -113904 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±12\sqrt{791}i}{2\left(-32\right)}$$

Luvun -1564 vastaluku on 1564.

$$x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{2\left(-32\right)}$$

Kerro 2 ja -32.

$$x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{-64}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{-64}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 1564 lukuun 12i\sqrt{791}.

$$x=\frac{1564+12\sqrt{791}i}{-64}$$

Jaa 1564+12i\sqrt{791} luvulla -64.

$$x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{-64}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 12i\sqrt{791} luvusta 1564.

$$x=\frac{-12\sqrt{791}i+1564}{-64}$$

Jaa 1564-12i\sqrt{791} luvulla -64.

$$x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16} x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Kohota \frac{6}{25+x} potenssiin kohottamalla sekä osoittaja että nimittäjä potenssiin ja jakamalla sitten.

$$\frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x=32$$

Ilmaise \frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x säännöllisenä murtolukuna.

$$\frac{6^{2}x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

Laske 6 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 36.

$$\frac{36x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(25+x\right)^{2} laajentamiseen.

$$\frac{36x}{625+50x+x^{2}}=32$$

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin -25, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x+25\right)^{2}.

$$36x=32\left(x+25\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(x+25\right)^{2} laajentamiseen.

$$36x=32\left(x^{2}+50x+625\right)$$

Laske lukujen 32 ja x^{2}+50x+625 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$36x=32x^{2}+1600x+20000$$

Vähennä 32x^{2} molemmilta puolilta.

$$36x-32x^{2}=1600x+20000$$

Vähennä 1600x molemmilta puolilta.

$$36x-32x^{2}-1600x=20000$$

Selvitä -1564x yhdistämällä 36x ja -1600x.

$$-1564x-32x^{2}=20000$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-32x^{2}-1564x=20000$$

Jaa molemmat puolet luvulla -32.

$$\frac{-32x^{2}-1564x}{-32}=\frac{20000}{-32}$$

Jakaminen luvulla -32 kumoaa kertomisen luvulla -32.

$$x^{2}+\left(-\frac{1564}{-32}\right)x=\frac{20000}{-32}$$

Supista murtoluku \frac{-1564}{-32} luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x=\frac{20000}{-32}$$

Jaa 20000 luvulla -32.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x=-625$$

Jaa \frac{391}{8} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{391}{16}. Lisää sitten \frac{391}{16}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x+\left(\frac{391}{16}\right)^{2}=-625+\left(\frac{391}{16}\right)^{2}$$

Korota \frac{391}{16} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x+\frac{152881}{256}=-625+\frac{152881}{256}$$

Lisää -625 lukuun \frac{152881}{256}.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x+\frac{152881}{256}=-\frac{7119}{256}$$

Jaa x^{2}+\frac{391}{8}x+\frac{152881}{256} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{391}{16}\right)^{2}=-\frac{7119}{256}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{391}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7119}{256}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{391}{16}=\frac{3\sqrt{791}i}{16} x+\frac{391}{16}=-\frac{3\sqrt{791}i}{16}$$

Vähennä \frac{391}{16} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16} x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16}$$