Ratkaise (12/y)^2+5y^2=16

$$( \frac { 12 } { y } ) ^ { 2 } + 5 y ^ { 2 } = 16$$

Ratkaise muuttujan y suhteen

$$y=\frac{2\sqrt{3}\times 5^{\frac{3}{4}}e^{-\frac{\arctan(\frac{\sqrt{41}}{2})i}{2}}}{5}\approx 1,866355157-1,372327065i$$

$$y=\frac{2\sqrt{3}\times 5^{\frac{3}{4}}e^{\frac{-\arctan(\frac{\sqrt{41}}{2})i+2\pi i}{2}}}{5}\approx -1,866355157+1,372327065i$$

$$y=\frac{2\sqrt{3}\times 5^{\frac{3}{4}}e^{\frac{\arctan(\frac{\sqrt{41}}{2})i}{2}}}{5}\approx 1,866355157+1,372327065i$$

$$y=\frac{2\sqrt{3}\times 5^{\frac{3}{4}}e^{\frac{\arctan(\frac{\sqrt{41}}{2})i+2\pi i}{2}}}{5}\approx -1,866355157-1,372327065i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kohota \frac{12}{y} potenssiin kohottamalla sekä osoittaja että nimittäjä potenssiin ja jakamalla sitten.

$$\frac{12^{2}}{y^{2}}+5y^{2}=16$$

Jos haluat lisätä tai vähentää lausekkeita, lavenna ne niin, että niiden nimittäjät ovat samat. Kerro 5y^{2} ja \frac{y^{2}}{y^{2}}.

$$\frac{12^{2}}{y^{2}}+\frac{5y^{2}y^{2}}{y^{2}}=16$$

Koska arvoilla \frac{12^{2}}{y^{2}} ja \frac{5y^{2}y^{2}}{y^{2}} on sama nimittäjä, laske ne yhteen laskemalla niiden osoittajat yhteen.

$$\frac{12^{2}+5y^{2}y^{2}}{y^{2}}=16$$

Suorita kertolaskut kohteessa 12^{2}+5y^{2}y^{2}.

$$\frac{12^{2}+5y^{4}}{y^{2}}=16$$

Yhdistä samanmuotoiset termit yhtälössä 12^{2}+5y^{4}.

$$\frac{144+5y^{4}}{y^{2}}=16$$

Vähennä 16 molemmilta puolilta.

$$\frac{144+5y^{4}}{y^{2}}-16=0$$

Jos haluat lisätä tai vähentää lausekkeita, lavenna ne niin, että niiden nimittäjät ovat samat. Kerro 16 ja \frac{y^{2}}{y^{2}}.

$$\frac{144+5y^{4}}{y^{2}}-\frac{16y^{2}}{y^{2}}=0$$

Koska arvoilla \frac{144+5y^{4}}{y^{2}} ja \frac{16y^{2}}{y^{2}} on sama nimittäjä, laske niiden erotus vähentämällä niiden osoittajat toisistaan.

$$\frac{144+5y^{4}-16y^{2}}{y^{2}}=0$$

Muuttuja y ei voi olla yhtä suuri kuin 0, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla y^{2}.

$$144+5y^{4}-16y^{2}=0$$

Korvaa y^{2} arvolla t.

$$5t^{2}-16t+144=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 5 tilalle a, muuttujan -16 tilalle b ja muuttujan 144 tilalle c.

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 5\times 144}}{2\times 5}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$t=\frac{16±\sqrt{-2624}}{10}$$

Ratkaise yhtälö t=\frac{16±\sqrt{-2624}}{10} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$t=\frac{8+4\sqrt{41}i}{5} t=\frac{-4\sqrt{41}i+8}{5}$$

Koska y=t^{2}, ratkaisut on saatu arvioidaan y=±\sqrt{t} kullekin t.

$$y=\frac{2\sqrt{3}\times 5^{\frac{3}{4}}e^{\frac{\arctan(\frac{\sqrt{41}}{2})i+2\pi i}{2}}}{5} y=\frac{2\sqrt{3}\times 5^{\frac{3}{4}}e^{\frac{\arctan(\frac{\sqrt{41}}{2})i}{2}}}{5} y=\frac{2\sqrt{3}\times 5^{\frac{3}{4}}e^{-\frac{\arctan(\frac{\sqrt{41}}{2})i}{2}}}{5} y=\frac{2\sqrt{3}\times 5^{\frac{3}{4}}e^{\frac{-\arctan(\frac{\sqrt{41}}{2})i+2\pi i}{2}}}{5}$$

Muuttuja y ei voi olla yhtä suuri kuin 0.

$$y=\frac{2\sqrt{3}\times 5^{\frac{3}{4}}e^{\frac{-\arctan(\frac{\sqrt{41}}{2})i+2\pi i}{2}}}{5}\text{, }y\neq 0 y=\frac{2\sqrt{3}\times 5^{\frac{3}{4}}e^{-\frac{\arctan(\frac{\sqrt{41}}{2})i}{2}}}{5}\text{, }y\neq 0 y=\frac{2\sqrt{3}\times 5^{\frac{3}{4}}e^{\frac{\arctan(\frac{\sqrt{41}}{2})i}{2}}}{5}\text{, }y\neq 0 y=\frac{2\sqrt{3}\times 5^{\frac{3}{4}}e^{\frac{\arctan(\frac{\sqrt{41}}{2})i+2\pi i}{2}}}{5}\text{, }y\neq 0$$