Ratkaise |5-i/1+i|

$$| \frac { 5 - i } { 1 + i } |$$

Laske

$$\sqrt{13}\approx 3,605551275$$

Ratkaisun vaiheet

Kerro sekä luvun \frac{5-i}{1+i} osoittaja että sen nimittäjä nimittäjän kompleksikonjugaatilla 1-i.

$$|\frac{\left(5-i\right)\left(1-i\right)}{\left(1+i\right)\left(1-i\right)}|$$

Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$|\frac{\left(5-i\right)\left(1-i\right)}{1^{2}-i^{2}}|$$

Määritelmän mukaan i^{2} on -1. Laske nimittäjä.

$$|\frac{\left(5-i\right)\left(1-i\right)}{2}|$$

Kerro kompleksiluvut 5-i ja 1-i keskenään samaan tapaan kuin binomit.

$$|\frac{5\times 1+5\left(-i\right)-i-\left(-i^{2}\right)}{2}|$$

Määritelmän mukaan i^{2} on -1.

$$|\frac{5\times 1+5\left(-i\right)-i-\left(-\left(-1\right)\right)}{2}|$$

Suorita kertolaskut kohteessa 5\times 1+5\left(-i\right)-i-\left(-\left(-1\right)\right).

$$|\frac{5-5i-i-1}{2}|$$

Yhdistä lukujen 5-5i-i-1 reaali- ja imaginaariosat.

$$|\frac{5-1+\left(-5-1\right)i}{2}|$$

Suorita yhteenlaskut kohteessa 5-1+\left(-5-1\right)i.

$$|\frac{4-6i}{2}|$$

Jaa 4-6i luvulla 2, jolloin ratkaisuksi tulee 2-3i.

$$|2-3i|$$

Kompleksiluvun a+bi itseisarvo (moduuli) on \sqrt{a^{2}+b^{2}}. Luvun 2-3i itseisarvo (moduuli) on \sqrt{13}.

$$\sqrt{13}$$

Reaaliosa

$$\sqrt{13} = 3,605551275$$