Ratkaise z^2-25*10^-12z+16*10^-12=0

$${ z }^{ 2 } -25 \times { 10 }^{ -12 } z+16 \times { 10 }^{ -12 } = 0$$

Ratkaise muuttujan z suhteen

$$z=\frac{1+\sqrt{102399999999}i}{80000000000}\approx 1,25 \cdot 10^{-11}+0,000004i$$

$$z=\frac{-\sqrt{102399999999}i+1}{80000000000}\approx 1,25 \cdot 10^{-11}-0,000004i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{62500000000}=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -\frac{1}{40000000000} ja c luvulla \frac{1}{62500000000} toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-\frac{1}{40000000000}\right)±\sqrt{\left(-\frac{1}{40000000000}\right)^{2}-4\times \frac{1}{62500000000}}}{2}$$

Korota -\frac{1}{40000000000} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$z=\frac{-\left(-\frac{1}{40000000000}\right)±\sqrt{\frac{1}{1600000000000000000000}-4\times \frac{1}{62500000000}}}{2}$$

Kerro -4 ja \frac{1}{62500000000}.

$$z=\frac{-\left(-\frac{1}{40000000000}\right)±\sqrt{\frac{1}{1600000000000000000000}-\frac{1}{15625000000}}}{2}$$

Lisää \frac{1}{1600000000000000000000} lukuun -\frac{1}{15625000000} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$z=\frac{-\left(-\frac{1}{40000000000}\right)±\sqrt{-\frac{102399999999}{1600000000000000000000}}}{2}$$

Ota luvun -\frac{102399999999}{1600000000000000000000} neliöjuuri.

$$z=\frac{-\left(-\frac{1}{40000000000}\right)±\frac{\sqrt{102399999999}i}{40000000000}}{2}$$

Luvun -\frac{1}{40000000000} vastaluku on \frac{1}{40000000000}.

$$z=\frac{\frac{1}{40000000000}±\frac{\sqrt{102399999999}i}{40000000000}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö z=\frac{\frac{1}{40000000000}±\frac{\sqrt{102399999999}i}{40000000000}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää \frac{1}{40000000000} lukuun \frac{i\sqrt{102399999999}}{40000000000}.

$$z=\frac{1+\sqrt{102399999999}i}{2\times 40000000000}$$

Jaa \frac{1+i\sqrt{102399999999}}{40000000000} luvulla 2.

$$z=\frac{1+\sqrt{102399999999}i}{80000000000}$$

Ratkaise nyt yhtälö z=\frac{\frac{1}{40000000000}±\frac{\sqrt{102399999999}i}{40000000000}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \frac{i\sqrt{102399999999}}{40000000000} luvusta \frac{1}{40000000000}.

$$z=\frac{-\sqrt{102399999999}i+1}{2\times 40000000000}$$

Jaa \frac{1-i\sqrt{102399999999}}{40000000000} luvulla 2.

$$z=\frac{-\sqrt{102399999999}i+1}{80000000000}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$z=\frac{1+\sqrt{102399999999}i}{80000000000} z=\frac{-\sqrt{102399999999}i+1}{80000000000}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{62500000000}=0$$

Vähennä \frac{1}{62500000000} yhtälön molemmilta puolilta.

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{62500000000}-\frac{1}{62500000000}=-\frac{1}{62500000000}$$

Kun luku \frac{1}{62500000000} vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z=-\frac{1}{62500000000}$$

Jaa -\frac{1}{40000000000} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{80000000000}. Lisää sitten -\frac{1}{80000000000}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\left(-\frac{1}{80000000000}\right)^{2}=-\frac{1}{62500000000}+\left(-\frac{1}{80000000000}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{80000000000} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{6400000000000000000000}=-\frac{1}{62500000000}+\frac{1}{6400000000000000000000}$$

Lisää -\frac{1}{62500000000} lukuun \frac{1}{6400000000000000000000} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{6400000000000000000000}=-\frac{102399999999}{6400000000000000000000}$$

Jaa z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{6400000000000000000000} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{1}{80000000000}\right)^{2}=-\frac{102399999999}{6400000000000000000000}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{80000000000}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{102399999999}{6400000000000000000000}}$$

Sievennä.

$$z-\frac{1}{80000000000}=\frac{\sqrt{102399999999}i}{80000000000} z-\frac{1}{80000000000}=-\frac{\sqrt{102399999999}i}{80000000000}$$

Lisää \frac{1}{80000000000} yhtälön kummallekin puolelle.

$$z=\frac{1+\sqrt{102399999999}i}{80000000000} z=\frac{-\sqrt{102399999999}i+1}{80000000000}$$