Ratkaise y^2-6y+25=0

$${ y }^{ 2 } -6y+25=0$$

Ratkaise muuttujan y suhteen

$$y=3+4i$$

$$y=3-4i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$y^{2}-6y+25=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -6 ja c luvulla 25 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 25}}{2}$$

Korota -6 neliöön.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 25}}{2}$$

Kerro -4 ja 25.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-100}}{2}$$

Lisää 36 lukuun -100.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-64}}{2}$$

Ota luvun -64 neliöjuuri.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±8i}{2}$$

Luvun -6 vastaluku on 6.

$$y=\frac{6±8i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{6±8i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 6 lukuun 8i.

$$y=\frac{6+8i}{2}$$

Jaa 6+8i luvulla 2.

$$y=3+4i$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{6±8i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 8i luvusta 6.

$$y=\frac{6-8i}{2}$$

Jaa 6-8i luvulla 2.

$$y=3-4i$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$y=3+4i y=3-4i$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-6y+25=0$$

Vähennä 25 yhtälön molemmilta puolilta.

$$y^{2}-6y+25-25=-25$$

Kun luku 25 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$y^{2}-6y=-25$$

Jaa -6 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -3. Lisää sitten -3:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$y^{2}-6y+\left(-3\right)^{2}=-25+\left(-3\right)^{2}$$

Korota -3 neliöön.

$$y^{2}-6y+9=-25+9$$

Lisää -25 lukuun 9.

$$y^{2}-6y+9=-16$$

Jaa y^{2}-6y+9 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-3\right)^{2}=-16$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(y-3\right)^{2}}=\sqrt{-16}$$

Sievennä.

$$y-3=4i y-3=-4i$$

Lisää 3 yhtälön kummallekin puolelle.

$$y=3+4i y=3-4i$$