Ratkaise y^2-15y=-54

$${ y }^{ 2 } -15y=-54$$

Ratkaise muuttujan y suhteen

$$y=6$$

$$y=9$$

Tekijöihin jakamisen vaiheet

Lisää 54 molemmille puolille.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Jos haluat ratkaista kaavan, kerroin y^{2}-15y+54 käyttämällä kaavaa y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-15 ab=54$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -15.

$$a=-9 b=-6$$

Kirjoita tekijöihin jaettu lauseke \left(y+a\right)\left(y+b\right) uudelleen käyttämällä saatuja arvoja.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista y-9=0 ja y-6=0.

$$y=9 y=6$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Lisää 54 molemmille puolille.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon y^{2}+ay+by+54. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-15 ab=1\times 54=54$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -15.

$$a=-9 b=-6$$

Kirjoita \left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right) uudelleen muodossa y^{2}-15y+54.

$$\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)$$

Jaa y toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja -6.

$$y\left(y-9\right)-6\left(y-9\right)$$

Jaa yleinen termi y-9 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista y-9=0 ja y-6=0.

$$y=9 y=6$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$y^{2}-15y=-54$$

Lisää 54 yhtälön kummallekin puolelle.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=-54-\left(-54\right)$$

Kun luku -54 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=0$$

Vähennä -54 luvusta 0.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -15 ja c luvulla 54 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 54}}{2}$$

Korota -15 neliöön.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 54}}{2}$$

Kerro -4 ja 54.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-216}}{2}$$

Lisää 225 lukuun -216.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Ota luvun 9 neliöjuuri.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±3}{2}$$

Luvun -15 vastaluku on 15.

$$y=\frac{15±3}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{15±3}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 15 lukuun 3.

$$y=\frac{18}{2}$$

Jaa 18 luvulla 2.

$$y=9$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{15±3}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3 luvusta 15.

$$y=\frac{12}{2}$$

Jaa 12 luvulla 2.

$$y=6$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$y=9 y=6$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-15y=-54$$

Jaa -15 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{15}{2}. Lisää sitten -\frac{15}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$y^{2}-15y+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-54+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{15}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=-54+\frac{225}{4}$$

Lisää -54 lukuun \frac{225}{4}.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=\frac{9}{4}$$

Jaa y^{2}-15y+\frac{225}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Sievennä.

$$y-\frac{15}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

Lisää \frac{15}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$y=9 y=6$$