Ratkaise x^6=((6x^3)-5^3)

$${ x }^{ 6 } =((6 { x }^{ 3 } )- { 5 }^{ 3 } )$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x\in \sqrt{5}e^{\frac{-\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+2\pi i}{3}},\sqrt{5}e^{-\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i}{3}},\sqrt{5}e^{\frac{-\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+4\pi i}{3}},\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+4\pi i}{3}},\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i}{3}},\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+2\pi i}{3}}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske 5 potenssiin 3, jolloin ratkaisuksi tulee 125.

$$x^{6}=6x^{3}-125$$

Vähennä 6x^{3} molemmilta puolilta.

$$x^{6}-6x^{3}=-125$$

Lisää 125 molemmille puolille.

$$x^{6}-6x^{3}+125=0$$

Korvaa x^{3} arvolla t.

$$t^{2}-6t+125=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 1 tilalle a, muuttujan -6 tilalle b ja muuttujan 125 tilalle c.

$$t=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 125}}{2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$t=\frac{6±\sqrt{-464}}{2}$$

Ratkaise yhtälö t=\frac{6±\sqrt{-464}}{2} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$t=3+2\sqrt{29}i t=-2\sqrt{29}i+3$$

Koska x=t^{3}, ratkaisut haetaan yhtälön ratkaisu t mukaan.

$$x=\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+4\pi i}{3}} x=\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+2\pi i}{3}} x=\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i}{3}} x=\sqrt{5}e^{-\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i}{3}} x=\sqrt{5}e^{\frac{-\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+4\pi i}{3}} x=\sqrt{5}e^{\frac{-\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+2\pi i}{3}}$$