Ratkaise x^6+1=x^4+x^2

$${ x }^{ 6 } +1= { x }^{ 4 } + { x }^{ 2 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-1$$

$$x=1$$

Ratkaisun vaiheet

Vähennä x^{4} molemmilta puolilta.

$$x^{6}+1-x^{4}=x^{2}$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$x^{6}+1-x^{4}-x^{2}=0$$

Järjestä yhtälö perusmuotoon. Aseta termit suurimmasta potenssista pienimpään.

$$x^{6}-x^{4}-x^{2}+1=0$$

Rationaaliluvulle lause, Kaikki polynomin rationaaliluvulle ovat muodossa \frac{p}{q}, jossa p jakaa vakio termin 1 ja q jakaa alku kertoimen 1. Luettele kaikki ehdokkaat \frac{p}{q}.

$$±1$$

Etsi yksi tällainen juuri kokeilemalla kaikkia kokonaislukuarvoja pienimmästä alkaen absoluuttisen arvon mukaan. Jos kokonaislukujuuria ei löydy, kokeile murtolukuja.

$$x=1$$

Tekijä lause x-k on kunkin k pääsivuston polynomin kerroin. Jaa x^{6}-x^{4}-x^{2}+1 luvulla x-1, jolloin ratkaisuksi tulee x^{5}+x^{4}-x-1. Ratkaise yhtälö, kun sen tulos on yhtä suuri kuin 0.

$$x^{5}+x^{4}-x-1=0$$

Rationaaliluvulle lause, Kaikki polynomin rationaaliluvulle ovat muodossa \frac{p}{q}, jossa p jakaa vakio termin -1 ja q jakaa alku kertoimen 1. Luettele kaikki ehdokkaat \frac{p}{q}.

$$±1$$

Etsi yksi tällainen juuri kokeilemalla kaikkia kokonaislukuarvoja pienimmästä alkaen absoluuttisen arvon mukaan. Jos kokonaislukujuuria ei löydy, kokeile murtolukuja.

$$x=1$$

Tekijä lause x-k on kunkin k pääsivuston polynomin kerroin. Jaa x^{5}+x^{4}-x-1 luvulla x-1, jolloin ratkaisuksi tulee x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+1. Ratkaise yhtälö, kun sen tulos on yhtä suuri kuin 0.

$$x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+1=0$$

Rationaaliluvulle lause, Kaikki polynomin rationaaliluvulle ovat muodossa \frac{p}{q}, jossa p jakaa vakio termin 1 ja q jakaa alku kertoimen 1. Luettele kaikki ehdokkaat \frac{p}{q}.

$$±1$$

Etsi yksi tällainen juuri kokeilemalla kaikkia kokonaislukuarvoja pienimmästä alkaen absoluuttisen arvon mukaan. Jos kokonaislukujuuria ei löydy, kokeile murtolukuja.

$$x=-1$$

Tekijä lause x-k on kunkin k pääsivuston polynomin kerroin. Jaa x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+1 luvulla x+1, jolloin ratkaisuksi tulee x^{3}+x^{2}+x+1. Ratkaise yhtälö, kun sen tulos on yhtä suuri kuin 0.

$$x^{3}+x^{2}+x+1=0$$

Rationaaliluvulle lause, Kaikki polynomin rationaaliluvulle ovat muodossa \frac{p}{q}, jossa p jakaa vakio termin 1 ja q jakaa alku kertoimen 1. Luettele kaikki ehdokkaat \frac{p}{q}.

$$±1$$

Etsi yksi tällainen juuri kokeilemalla kaikkia kokonaislukuarvoja pienimmästä alkaen absoluuttisen arvon mukaan. Jos kokonaislukujuuria ei löydy, kokeile murtolukuja.

$$x=-1$$

Tekijä lause x-k on kunkin k pääsivuston polynomin kerroin. Jaa x^{3}+x^{2}+x+1 luvulla x+1, jolloin ratkaisuksi tulee x^{2}+1. Ratkaise yhtälö, kun sen tulos on yhtä suuri kuin 0.

$$x^{2}+1=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 1 tilalle a, muuttujan 0 tilalle b ja muuttujan 1 tilalle c.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{0±\sqrt{-4}}{2}$$

Negatiivisen luvun neliöjuurta ei ole määritelty reaalilukujen joukossa, joten ratkaisuja ei ole.

$$x\in \emptyset$$

Luetteloi kaikki löydetyt ratkaisut.

$$x=1 x=-1$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=i$$

$$x=-i$$

$$x=-1$$

$$x=1$$