Ratkaise x^4-8x^2-4=0

$${ x }^{ 4 } -8 { x }^{ 2 } -4=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=i\sqrt{2\left(\sqrt{5}-2\right)}\approx 0,687121499i$$

$$x=-i\sqrt{2\left(\sqrt{5}-2\right)}\approx -0-0,687121499i$$

$$x=-\sqrt{2\left(\sqrt{5}+2\right)}\approx -2,91069338$$

$$x=\sqrt{2\left(\sqrt{5}+2\right)}\approx 2,91069338$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Korvaa x^{2} arvolla t.

$$t^{2}-8t-4=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 1 tilalle a, muuttujan -8 tilalle b ja muuttujan -4 tilalle c.

$$t=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 1\left(-4\right)}}{2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$t=\frac{8±4\sqrt{5}}{2}$$

Ratkaise yhtälö t=\frac{8±4\sqrt{5}}{2} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$t=2\sqrt{5}+4 t=4-2\sqrt{5}$$

Koska x=t^{2}, ratkaisut saadaan laskemalla x=±\sqrt{t} kunkin t:n osalta.

$$x=-\sqrt{2\sqrt{5}+4} x=\sqrt{2\sqrt{5}+4} x=-i\sqrt{-\left(4-2\sqrt{5}\right)} x=i\sqrt{-\left(4-2\sqrt{5}\right)}$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-\sqrt{2\left(\sqrt{5}+2\right)}\approx -2,91069338$$

$$x=\sqrt{2\left(\sqrt{5}+2\right)}\approx 2,91069338$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Korvaa x^{2} arvolla t.

$$t^{2}-8t-4=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 1 tilalle a, muuttujan -8 tilalle b ja muuttujan -4 tilalle c.

$$t=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 1\left(-4\right)}}{2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$t=\frac{8±4\sqrt{5}}{2}$$

Ratkaise yhtälö t=\frac{8±4\sqrt{5}}{2} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$t=2\sqrt{5}+4 t=4-2\sqrt{5}$$

Koska x=t^{2}, ratkaisut saadaan laskemalla x=±\sqrt{t} positiivisen t:n osalta.

$$x=\frac{\sqrt{8\sqrt{5}+16}}{2} x=-\frac{\sqrt{8\sqrt{5}+16}}{2}$$